Gleichung lösen/bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe | Seien x; y; z beliebige positive reelle Zahlen. Zeigen Sie
3
---------------- < 1/3*(X+Y+Z)
(1/X)+(1/Y)+(1/Z) =
Für genau welche Zahlen gilt das Gleichheitszeichen ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann ich diese aufgabe lösen? Ich bräuchte Hilfe beim Lösungs weg
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> Seien x; y; z beliebige positive reelle Zahlen. Zeigen Sie
> 3
> ---------------- < 1/3*(X+Y+Z)
> (1/X)+(1/Y)+(1/Z) =
Mit dem Formeleditor kannst du dies so darstellen:
[mm] $\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ \le\ \frac{x+y+z}{3}$
[/mm]
> Für genau welche Zahlen gilt das Gleichheitszeichen ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wie kann ich diese aufgabe lösen? Ich bräuchte Hilfe
> beim Lösungs weg
Hallo Illihide,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
es wird hier erwartet, dass die Anfragenden nicht
einfach Aufgaben stellen, sondern auch berichten,
welche eigenen Lösungsversuche sie schon unter-
nommen haben.
Falls du noch nicht weißt, wie du anfangen sollst,
dann probier halt mal einfach, die Ungleichung durch
Umformungen auf eine andere, eventuell besser
zugängliche Form zu bringen.
Vielleicht wäre es auch nützlich, die Ungleichung
zunächst in sinngemäßer Weise von 3 Unbekannten
auf eine analoge Ungleichung mit nur 2 Unbekannten
x und y zu reduzieren und zunächst diese zu unter-
suchen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Bruch Gleichnamig machen:
3*X*Y*Z
----------- =1/3*(x+y+z)
x*y+x*z+y*z <
Irgentwie vereinfachen:
3< (x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)
=
< 3+x/y+x/z+y/x+y/z+z/x+z/y
=
Das waren mein versuche... und damit bin ich nicht weiter gekommen, denn so konnte ich keine Variable entfernen bzw die ganze Formel vereimfachen.
Das ich auch meine falschen Versuche reinstellen sollte wusste ich nicht :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 08.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib die Gleichung ohne Nenner,d.h mult deine Gl mit dem Nenner, dann solltest du mehr sehen, da die Gl symetrisch in x,y,z ist kannst du etwa annehmen [mm] x\le y\le [/mm] z
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Ich hatte die gleichung mit dem Nenner mult, doch dan steht ja da:
3<(x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)
=
doch wenn ich die klammern auflöse dann komm ich ja auch nicht weiter weil keine Variable rausfällt bzw sic auflöst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Illihide,
> Bruch Gleichnamig machen:
> 3*X*Y*Z
> ----------- =1/3*(x+y+z)
> x*y+x*z+y*z <
Bis hierhin stimmt es.
> Irgentwie vereinfachen:
>
> 3< (x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)
> =
Das stimmt, wenn du die 3 durch eine 9 ersetzt. Übrigens erhältst du diese Ungleichung direkt aus der zu zeigenden Ungleichung durch eine Äquivalenzumformung.
> < 3+x/y+x/z+y/x+y/z+z/x+z/y
> =
Hier hast du offenbar die rechte Seite ausmultipliziert.
Fassen wir zusammen: Die zu zeigende Ungleichung ist gleichbedeutend mit
[mm] $9\le3+x/y+x/z+y/x+y/z+z/x+z/y$,
[/mm]
also auch zu
[mm] $6\le [/mm] (x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)$.
Zeige nun, dass die drei Klammerausdrücke jeweils [mm] $\ge2$ [/mm] sind.
(Es genügt, dass für einen der Klammerausdrücke zu zeigen. Dann kannst du das Gezeigte auf die beiden anderen anwenden.)
Führe dazu wieder Äquivalenzumformungen mit der zu zeigenden Ungleichung durch.
Wie weit kommst du? Irgendwann könnte eine binomische Formel hilfreich sein...
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
also erstmal schon vielen dank tobi das du mir hilfst :)
ich hab jz [mm] (x^2+y^2)/x*y [/mm] > 2
=
Kurze Frage: wie bist du auf die idee mit der > 2 gekommmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ich hab jz [mm](x^2+y^2)/x*y[/mm] > 2
> =
Ja. Weiter äquivalent umgeformt:
[mm] $x^2+y^2\ge [/mm] 2xy$
bzw.
[mm] $x^2-2xy+y^2\ge [/mm] 0$.
Denke jetzt an meinen Tipp mit einer binomischen Formel!
> Kurze Frage: wie bist du auf die idee mit der > 2
> gekommmen?
Die Summe der drei Klammerausdrücke sollte [mm] $\ge [/mm] 6$ sein. Da kam mir die Idee, dass vielleicht jeder der Klammerausdrücke einen Beitrag [mm] $\ge [/mm] 2$ leisten könnte. Das habe ich dann geprüft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
und dann y und x berechnen? mit der pq formel?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
bzw dann habe ich [mm] (x-y)^2>0 [/mm]
=
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> bzw dann habe ich [mm](x-y)^2>0[/mm]
> =
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und gilt diese Ungleichung für alle (positiven) reellen Zahlen $x$ und $y$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ja gilt es :)
und was hab ich damit jz bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ja gilt es :)
Genau.
> und was hab ich damit jz bewiesen?
Die Frage ist ziemlich berechtigt, da wir die größte Zeit mit Äquivalenzumformungen rückwärts von dem ausgegangen sind, was wir eigentlich zeigen wollen.
Wir haben überlegt:
Für positive reelle Zahlen $x$ und $y$ ist die Aussage
[mm] $x/y+y/x\ge [/mm] 2$
äquivalent zu einer wahren Aussage, also selbst wahr.
Also (angewandt auf x und z sowie y und z) gilt auch
[mm] $x/z+z/x\ge [/mm] 2$
und
[mm] $y/z+z/y\ge [/mm] 2$.
Also gilt
[mm] $(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)\ge [/mm] 6$.
Das ist wiederum äquivalent zu der zu zeigenden Ungleichung. Also gilt auch diese.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> und dann y und x berechnen? mit der pq formel?
Die Behauptung, die wir gerade zeigen wollen, ist ja, dass die Ungleichung für alle (positiven) reellen Zahlen x und y gilt. Also werden wir wohl kaum konkrete Werte für x und y aus der UNgleichung bekommen.
(Ob man durch betrachten der entsprechenden Gleichung anstelle der Ungleichung auch irgendwie ans Ziel kommen könnte, überblicke ich auf die Schnelle nicht. Der Weg aus deiner anderen Frage ist auf jeden Fall einfacher.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ok tobi :) hab vielen dank :) ich habe es jz denke ich verstanden. falls nicht frage ich noch mal ;) nur wirklich vielen dank das du so gduldig warst
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Hallo Illihide,
mit meinem Tipp, zuerst mal die analoge Ungleichung
mit nur 2 Unbekannten zu betrachten, also anstatt
$ [mm] \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ \le\ \frac{x+y+z}{3} [/mm] $
zuerst diese:
$ [mm] \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\ \le\ \frac{x+y}{2} [/mm] $
hatte ich exakt das im Sinn, worauf der Tipp von Tobias
ebenfalls hinausführt.
Wenn du übrigens für diese Ungleichung die binomische
Zerlegung genau anschaust, kannst du merken, dass
die Terme links und rechts nur dann gleich sind, wenn
x=y ist. Für die ursprüngliche Ungleichung folgt daraus,
dass die Gleichung nur dann zutreffen kann, wenn x=y,
y=z und z=x ist, also x=y=z !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ja das ist etwas einfacher das stimmt :)
auch dir vielen dank!
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