Gleichung m. Binomialko. lösen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 05.06.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo zusammen,
ich stehe gerade vor dem Problem, dass ich nicht weiß, wie ich eine Gleichung löse, in der ein Binomialkoeffizient auftaucht. Konkret bin ich bei einer Aufgabe an den Punkt gekommen, wo ich folgende Gleichung habe:
[mm] \summe_{i=0}^{3} \vektor{n \\ i} [/mm] = [mm] 2^{n-k}
[/mm]
Aber leider habe ich keine Idee, wie ich n und k bestimmen soll. Auch nicht, wenn ich den Binomialkoeffizienten in einen Bruch mit Fakultäten umwandle.
Könnte mir jemand allgemein erklären, wie ich eine solche Gleichung lösen kann?
Vielen Dank und beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
> Hallo zusammen,
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> ich stehe gerade vor dem Problem, dass ich nicht weiß, wie
> ich eine Gleichung löse, in der ein Binomialkoeffizient
> auftaucht. Konkret bin ich bei einer Aufgabe an den Punkt
> gekommen, wo ich folgende Gleichung habe:
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> [mm]\summe_{i=0}^{3} \vektor{n \\ i}[/mm] = [mm]2^{n-k}[/mm]
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> Aber leider habe ich keine Idee, wie ich n und k bestimmen
> soll. Auch nicht, wenn ich den Binomialkoeffizienten in
> einen Bruch mit Fakultäten umwandle.
>
> Könnte mir jemand allgemein erklären, wie ich eine solche
> Gleichung lösen kann?
Aus einer Gleichung wirst du 2 Unbestimmte nicht eindeutig berechnen können ...
Na, welche Ideen könnte man denn haben:
1) Schreibe die Summe linkerhand doch mal aus, das sind ja bloß 4 Summanden ...
[mm]\vektor{n\\0}+\vektor{n\\1}+\vektor{n\\2}+\vektor{n\\3}[/mm]
2) Du kennst den binomischen Lehrsatz?
[mm](a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n\vektor{n\\i}\cdot{}a^{i}\cdot{}b^{n-i}[/mm]
Bedenke, dass [mm]2^{n-k}=(1+1)^{n-k}[/mm] ...
Sind das schon passende Anregungen?
>
> Vielen Dank und beste Grüße,
> Marcel
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:29 Do 05.06.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo,
schon mal vielen Dank für deine Antwort.
Das ich n und k nicht eindeutig bestimmen kann ist mir klar. Lösungen sind (7, 1) und (23, 12). Ich soll beweisen, dass es die einzigen Lösungen sind.
Den Binomialsatz kenne ich, ja. Ich habe damit auch schon ein bisschen herumprobiert, allerdings noch keine Umformung gefunden, bei der die Binomialkoeffizienten verschwinden würden.
In dem Satz ist der Exponent n und die Summe läuft bis n. Bei mir ist der Exponent n aber die Summe läuft bis m. Das bereitet mir Probleme.
[mm] 2^n [/mm] = [mm] 2^{n-k} [/mm] + [mm] \summe_{i=4}^{n} \vektor{n \\ i}
[/mm]
Hilft mir noch nicht so recht weiter.
*EDIT*
Aber es gilt ja auch:
[mm] 2^n [/mm] - [mm] \vektor{n\\0}+\vektor{n\\1}+\vektor{n\\2}+\vektor{n\\3} [/mm] = [mm] 2^{n-k}
[/mm]
Und das müsste ich doch jetzt auflösen können, weil ja [mm] \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \vektor{n-1\\k}+\vektor{n-1\\k-1} [/mm] und ich dann ja irgendwann bei [mm] \vektor{n-(n-2)\\2} [/mm] = 1 bzw. [mm] \vektor{1\\1} [/mm] = 1 ankomme.
Dann muss ich das jetzt nur noch [mm] [b]richtig[\b] [/mm] auflösen...
*EDIT2*
Hmm, irgendwie bekomme ich es nicht hin, sodass mir das wirklich weiter hilft :(
Viele Grüße,
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Sa 07.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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