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Gleichung mit Beträgen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:13 Do 09.05.2013
Autor: gregg

Aufgabe
Zu lösen ist die Gleichung |x+1| = x + |x+2|

Ich mache hier eine doppelte Fallunterscheidung:

(1) x [mm] \ge [/mm] -1:

x+1 = x + |x+2|
1 = |x+2|


(1a) für x [mm] \ge [/mm] -2:
1 = x+2
-1 = x

(1b) für x < -2:
1= -(x+2)
-3 = x

(2) x < -1:
-(x+1) = x+|x+2|
-x-1= x+|x+2|
-1 = |x+2|

-> keine Notwendigkeit weiter zu rechnen, da [mm] \forall [/mm] x: |x+2| [mm] \not= [/mm] -1

Mein Problem ist nun, dass -3 keine zulässige Lösung ist. Dies sehe ich aber erst, wenn ich den Wert in die Gleichung einsetze. Ist dies ausreichend? Ansonsten alles richtig?


Gruß & Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichung mit Beträgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:41 Do 09.05.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Zu lösen ist die Gleichung |x+1| = x + |x+2|
>  Ich mache hier eine doppelte Fallunterscheidung:
>  
> (1) x [mm]\ge[/mm] -1:
>  
> x+1 = x + |x+2|
>  1 = |x+2|

[ok]

> (1a) für x [mm]\ge[/mm] -2:
>  1 = x+2
> -1 = x

Ja, wobei du [mm] $x\ge [/mm] -2$ doch gar nicht annehmen musst, da du ja bereits [mm] $x\ge [/mm] -1$ hast.

> (1b) für x < -2:

Der Fall kann doch gar nicht auftreten!
Wie soll denn gleichzeitig [mm] $x\ge [/mm] -1$ und $x < -2$ gelten?
Das löst wohl auch dein Problem mit der Lösung

> -> keine Notwendigkeit weiter zu rechnen, da [mm]\forall[/mm] x:
> |x+2| [mm]\not=[/mm] -1

[notok]
Da hast du dich verrechnet beim Umstellen.
Schau dir den Fall mal nochmal an.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Gleichung mit Beträgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:11 Do 09.05.2013
Autor: gregg


> [notok]
>  Da hast du dich verrechnet beim Umstellen.
>  Schau dir den Fall mal nochmal an.

habe meinen Fehler gefunden:

(2) für x < -1

-(x+1) = x+|x+2|
-x-1 = x+|x+2|
-1 = 2x+|x+2|


(2a) für x [mm] \ge [/mm] -2

-1 = 2x+x+2
-3 = 3x
-1 = x

(2b) für x < -2

-1 = 2x-(x+2)
-1 = 2x-x-2
1 = x
-> entfällt, da die Annahme x < -2 ist.

Demnach [mm] \IL [/mm] = {-1}


Bezug
                        
Bezug
Gleichung mit Beträgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:22 Do 09.05.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ja, richtig.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Gleichung mit Beträgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Do 09.05.2013
Autor: fred97

Ich habe den Ehrgeiz, Betrags(un)gleichungen ohne Fallunterscheidung zu lösen. Oft geht das. So auch hier:

Aus |x+1| = x + |x+2|  folgt

    x=|x+2|-|x+1|,

also

    $ [mm] |x|=|\quad [/mm] |x+2|-|x+1| [mm] \quad [/mm] | [mm] \le [/mm] |(x+2)-(x+1)|=1$.

Dann folgt x [mm] \ge [/mm] -1, also x+1 [mm] \ge [/mm] 0 und x+2 [mm] \ge [/mm] 0.

Aus  |x+1| = x + |x+2|   wird dann   x+1 = x + x+2, also x=-1.

FRED

Bezug
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