Gleichung mit Fallunterscheidu < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche x aus den reellen Zahlen gilt:
[mm] \wurzel(x^2-16*x+64)=(2*|x+1|)/(x+2) [/mm] |
Ich habe zu dieser Aufgabe zunächst den Definitionsbereich festgelegt, denn der Term unter der Wurzel darf ja nicht 0 ergeben, dasselbe gilt für den Nenner auf der rechten Seite.
Durch die pq-Formel ergibt sich, dass der Term unter der Wurzel nie negativ wird --> keine Einschränkungen für x. Aus der rechten Seite ergibt sich, dass x nicht -2 sein darf. Somit hab ich meinen DEfinitionsbereich aber was nun?
Mir ist klar, dass ich wegen den Betragsstrichen auf der rechten Seite eine Fallunterscheidung durchführen muss.
Der erste Fall wäre dann ja [mm] x\ge [/mm] 1
Hier nehmen wir an, dass der Term in Betragsstrichen positiv ist und wir können rechnen mit:
[mm] \wurzel(x^2-16*x+64)=(2*(x+1))/(x+2)
[/mm]
Doch wie vereinfache und löse ich diese Gleichung am besten? Kann ich quadrieren oder müssen dann noch weitere Fallunterscheidungen gemacht werden? Oder soll ich mit dem Nenner multiplizieren? Die Gleichung scheint durch alle Umformungen nur komplizierter zu werden. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
Liebe Grüße,
Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo klein-caro,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für welche x aus den reellen Zahlen gilt:
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> [mm]\wurzel(x^2-16*x+64)=(2*|x+1|)/(x+2)[/mm]
> Ich habe zu dieser Aufgabe zunächst den
> Definitionsbereich festgelegt, denn der Term unter der
> Wurzel darf ja nicht 0 ergeben, dasselbe gilt für den
> Nenner auf der rechten Seite.
> Durch die pq-Formel ergibt sich, dass der Term unter der
> Wurzel nie negativ wird --> keine Einschränkungen für x.
> Aus der rechten Seite ergibt sich, dass x nicht -2 sein
> darf. Somit hab ich meinen DEfinitionsbereich aber was nun?
> Mir ist klar, dass ich wegen den Betragsstrichen auf der
> rechten Seite eine Fallunterscheidung durchführen muss.
>
> Der erste Fall wäre dann ja [mm]x\ge[/mm] 1
>
> Hier nehmen wir an, dass der Term in Betragsstrichen
> positiv ist und wir können rechnen mit:
>
> [mm]\wurzel(x^2-16*x+64)=(2*(x+1))/(x+2)[/mm]
>
> Doch wie vereinfache und löse ich diese Gleichung am
> besten? Kann ich quadrieren oder müssen dann noch weitere
> Fallunterscheidungen gemacht werden? Oder soll ich mit dem
> Nenner multiplizieren? Die Gleichung scheint durch alle
> Umformungen nur komplizierter zu werden. Ich würde mich
> sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
>
Die obige Gleichung kannst Du quadrieren.
Dann kannst Du die entstehende Gleichung mit [mm]\left(x+2\right)^{2}[/mm]
durchmultiplizieren. Das darfst Du natürlich nur, wenn [mm]x+2 \not=0[/mm].
Bringe dann diese neue Gleichung auf die Form [mm]\ .... \ =0[/mm].
Auf der linken Seite dieser Gleichung steht ein Polynom 4. Grades,
das sich in zwei quadratische Polynome zerlegen läßt.
> Liebe Grüße,
> Caro
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Danke für deine Antwort aber gibt es da keine einfachere Methode? Wir haben einige von diesen Aufgaben aufbekommen und ich glaube nicht, dass wir jede auf diese komplizierte Art lösen sollen...
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Hallo klein-caro,
> Danke für deine Antwort aber gibt es da keine einfachere
> Methode? Wir haben einige von diesen Aufgaben aufbekommen
> und ich glaube nicht, dass wir jede auf diese komplizierte
> Art lösen sollen...
Du kannst das natürlich auch ohne quadrieren lösen.
Dazu musst Du ein paar Fallunterscheidungen machen.
Gruss
MathePower
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Wie würde das denn funktionieren?
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Hallo klein-caro,
> Wie würde das denn funktionieren?
Siehe dazu diese Antwort.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] x^2-16x+64=(x-8)^2
[/mm]
Zieht man daraus die Wurzel, so bekommt man |x-8|
Aus der Gl. wird dann |x-8|= [mm] \bruch{2|x+1|}{x+2}
[/mm]
Die linke Seite ist [mm] \ge [/mm] 0, also auch die rechte. Daher ist schon mal x>-2
Hilft das weiter ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mi 07.11.2012 | | Autor: | klein-caro |
Das stimmt allerdings, warum hab ich das nicht gleich gesehen, dann kann ich ja gut mit Fallunterscheidung weiterarbeiten. Vielen Dank, ich glaube, jetzt wird es klappen :)
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