Gleichung mit komplexen Zahlen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie sämtliche Lösungen:
a) [mm] z^{3}=(\bruch{1-i}{1+i})^{5}
[/mm]
b) [mm] z^{2}+(-2+i)z+3-i=0 [/mm] |
Hallo,
blicke bei diesen Aufgaben leider nicht durch.
Bei a) hatte ich nur den Ansatz:
[mm] z^{3}=(\bruch{1-i}{1+i})^{5}
[/mm]
[mm] z^{3}=(1-i)^{5}*(1+i)^{-5}
[/mm]
Weiß nicht ob das in irgendeiner Form hilfreich ist.
Habe noch in Erinnerung, dass Komplexe Zahlen bei der Division mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert werden.
Bei b) habe ich es mit einer quadratischen Ergänzung versucht:
[mm] z^{2}+(-2+i)z+3-i=0
[/mm]
[mm] (z-1)^{2}=i-2-iz
[/mm]
Wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
MfG Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nabend !
Also zu a) hätte ich da folgenden Ansatz:
[mm] z^3=((1-i)/(+i))^5
[/mm]
[mm] z^3=(((1-i)/(+i))*((1-i)/(1-i)))^5
[/mm]
[mm] z^3=((1-i-i-1)/(1^2+i^2))^5
[/mm]
[mm] z^3=(-2i/2)^5
[/mm]
[mm] z^3=(-i)^5
[/mm]
bei b) würde ich folgendermaßen anfangen:
[mm] z^2+(-2+i)*z-(3-i)=0 [/mm] | -(3-i)
[mm] z^2+(-2+i)*z=(-3+i)
[/mm]
[mm] z^2+(-2+i)*z=\bruch{(-3+i)}{(-2+i)} [/mm] | :(-2+i)
[mm] \bruch{(z^2)}{(-2+i)}+z=\bruch{(-3+i)*(-2-i)}{(-2+i)*(-2-i)}
[/mm]
[mm] \bruch{(z^2)}{(-2+i)}+z=\bruch{(6+3i-2i+1)}{(4+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{(z^2)}{(-2+i)}+z=\bruch{7}{5}+\bruch{1}{5}i [/mm]
ich hoffe, das hilft erstmal weiter...
greetz
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| Status: |
(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 22:31 Do 26.10.2006 | | Autor: | Andreas666 |
> bei b) würde ich folgendermaßen anfangen:
>
> [mm]z^2+(-2+i)*z-(3-i)=0[/mm] | -(3-i)
>
> [mm]z^2+(-2+i)*z=(-3+i)[/mm]
>
> [mm]z^2+(-2+i)*z=\bruch{(-3+i)}{(-2+i)}[/mm] | :(-2+i)
Hallo, vielen Dank erstmal für deine Mühe!
Bei a) Komme ich mit deinem Ansatz zur gleichen Stelle:
[mm] z^{3}=(-i)^{5}
[/mm]
Ab da habe ich wieder keine Ahnung :-(
Bei b) ist mir ein Fehler aufgefallen.
Aus:
$ [mm] z^2+(-2+i)\cdot{}z=(-3+i) [/mm] $
machst du
[mm] z^{2}+(-2+i)\cdot{}z=\bruch{(-3+i)}{(-2+i)}
[/mm]
und teilst dann nochmal durch (-2+i)
es müsste doch eigentlich
[mm] \bruch{z^{2}}{-2+i}+z=\bruch{(-3+i)}{(-2+i)}
[/mm]
heißen, oder?
Werde für heute mal Schluss machen. Schau mir das morgen nochmal an.
MfG Andreas
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mh... bin ein wenig durcheinander gekommen, tut mich sorry ! :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Andreas,
[mm] z^{2}+(-2+i)z+3-i=0
[/mm]
Lösung mit  p-q-Formel
[mm] z_{1,2}=- \bruch{-2+i}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{-2+i}{2}\right)^2-3+i}
[/mm]
Ergebnis:
[mm] z_1=1+i
[/mm]
[mm] z_2=1-2i
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
zu a)
vereinfache die linke Klammer, dann bist du schon fast fertig 
Liebe Grüße
Herby
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
