www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionGleichung nach rechnen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Gleichung nach rechnen
Gleichung nach rechnen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichung nach rechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mi 13.10.2010
Autor: Blackpearl

Aufgabe
(i) Rechnen sie folgende Gleichung nach.
[mm] 1^2 = 1^3 (1+2)^2 = 1^3 + 2^3 (1+2+3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 (1+2+3+4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 [/mm]
(ii) Finden Sie das erste n [mm] \in \IN, [/mm] für das die Gleichung
[mm] (1+2+3+4+ ... +n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3 [/mm]
nicht mehr gilt, oder beweisen Sie, dass ein solches n nicht existiert.

Hey Leute,

aller Anfang ist schwer und ich häng mich gerade rein. Beim ersten denk ich mir er will einfach nur das ich ein paar mal die Gleichung fortführe aber was hat das für einen sinn? Mann kann seine dann ja einfach ergänzen mit 5 in der Klammer und 5² auf der reichten seite usw..

Beim 2. einfach durch probieren? Also weitermachen und zahlen einsetzen und dann irgendwann einfach eine extrem hohe zahl um zu beweisen das ein solches n nicht existiert oder wie?

        
Bezug
Gleichung nach rechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mi 13.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Blackpearl,


> (i) Rechnen sie folgende Gleichung nach.
>  [mm]1^2 = 1^3 (1+2)^2 = 1^3 + 2^3 (1+2+3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 (1+2+3+4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3[/mm]
>  
> (ii) Finden Sie das erste n [mm]\in \IN,[/mm] für das die
> Gleichung
>  [mm](1+2+3+4+ ... +n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3[/mm]
>  
> nicht mehr gilt, oder beweisen Sie, dass ein solches n
> nicht existiert.
>  Hey Leute,
>  
> aller Anfang ist schwer und ich häng mich gerade rein.
> Beim ersten denk ich mir er will einfach nur das ich ein
> paar mal die Gleichung fortführe aber was hat das für
> einen sinn?

Du sollst für die ersten paar n einfach beide Seiten ausrechnen und schauen, ob die Gleichheit gilt.

> Mann kann seine dann ja einfach ergänzen mit 5
> in der Klammer und 5² auf der reichten seite usw..
>  
> Beim 2. einfach durch probieren? Also weitermachen und
> zahlen einsetzen und dann irgendwann einfach eine extrem
> hohe zahl um zu beweisen das ein solches n nicht existiert
> oder wie?

Wenn du die ersten paar Dinger oben ausrechnest und vergleichst, siehst du, dass man das wohl verallgemeinern kann auf die Aussage:

[mm]1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2[/mm]

Dies solltest du dann per vollst. Induktion beweisen.

Evtl. kennst du schon eine Formel für die Summe der ersten n nat. Zahlen:

[mm]1+2+3+\ldots+n=\Box[/mm]

Damit könntest du die Klammer rechterhand und damit den Induktionsbeweis vereinfachen ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Gleichung nach rechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Mi 13.10.2010
Autor: Blackpearl

Was ist bitte induktion inder Mathematik? Wie funktioniert das?

Bezug
                        
Bezug
Gleichung nach rechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mi 13.10.2010
Autor: reverend

Hallo blackpearl,

ich vermute, dass das genau Euer nächstes Thema ist. Die Aufgabe soll Euch dahin führen...

Die Grundideee ist folgende. Da wird eine Gleichung behauptet, die für alle [mm] n\in\IN [/mm] gelten soll, manchmal auch mit der Einschränkung [mm] n\ge{a},\ a\in\IN [/mm] (hier aber nicht). Diese mögliche Einschränkung lassen wir für jetzt mal beiseite.

Wenn man nun 2 Dinge zeigen kann, ist die gesamte Behauptung bewiesen:
1) Die behauptete Gleichung gilt für n=1.
2) Wenn die behauptete Gleichung für ein bestimmtes n gilt, gilt sie auch für n+1.

Das ist schon alles. Wenn man das zeigen kann, dann gilt die behauptete Gleichung für alle natürlichen Zahlen, will sagen: für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Überleg mal, warum das so ist.

Ein einfacheres Beispiel ist dies: [mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n(n+1)}{2}. [/mm]
Diese Summe ist auch als "Dreiecksformel" bekannt, oder häufiger als Darstellung der "Dreieckszahlen": 1,3,6,10,15,21,28...

Grüße
reverend


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]