Gleichung nach x auflösen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 19.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Hi,
zuerst mal: In welche Kategorie gehört sowas Elementares eigentlich?
Schaut euch bitte mal die angehangene Datei an. Unten drunter steht die Musterlösung. Kann einfach nicht finden, was ich falsch gemacht haben soll bzw. wie es ab meinem letzten Schritt weiter geht.
Dass a²=b² unlösbar ist, ergibt sich ja aus der Definitionsmenge. Da a und b nicht 0 sind, kann ich teilen wie ich möchte - trotzdem weiß ich nicht, wie ich einen solchen Term nach x auflösen soll.
Es geht also um
[mm] \bruch{a^2}{b^2}=\bruch{(x+1)^2}{(x-1)^2}
[/mm]
Vielen Dank!
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> Hi,
Hallo!
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> zuerst mal: In welche Kategorie gehört sowas Elementares
> eigentlich?
Das ist einfach Analysis einer Veränderlichen.
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> Schaut euch bitte mal die angehangene Datei an. Unten
> drunter steht die Musterlösung. Kann einfach nicht finden,
> was ich falsch gemacht haben soll bzw. wie es ab meinem
> letzten Schritt weiter geht.
Ich sehe keine Datei.
>
> Dass a²=b² unlösbar ist, ergibt sich ja aus der
> Definitionsmenge. Da a und b nicht 0 sind, kann ich teilen
> wie ich möchte - trotzdem weiß ich nicht, wie ich einen
> solchen Term nach x auflösen soll.
>
> Es geht also um
> [mm]\bruch{a^2}{b^2}=\bruch{(x+1)^2}{(x-1)^2}[/mm]
>
Um diese Gleichung nach x aufzulösen multipliziere sie mit [mm] (x-1)^2 [/mm] sowie [mm] b^2 [/mm] durch. Anschließend alle Klammern auflösen. Sortieren der Terme liefert dir eine quadratische Gleichung der Form [mm] ...x^2+...x+...=0. [/mm] Diese kannst du sicher lösen.
> Vielen Dank!
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mo 19.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Warum vergesse ich eigentlich immer die Anhänge... :D
Naja, sollte aber reichen so. Ansonsten meld ich mich nochmal.
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Di 20.10.2009 | | Autor: | oli_k |
So,
bin bei [mm] (a^2-b^2)(x-1)^2=0.
[/mm]
Nun wäre ja theoretisch x=1 eine erste Lösung, aber dann würde in der Ausgangsgleichung durch 0 geteilt werden. Wie begründe ich nun also, dass das keine gültige Lösung ist? Habe doch eigentlich nur Äquivalenzumformungen vorgenommen...
Und wie ich auf die Musterlösung komme, ist mir auch noch schleierhaft:
unlösbar, falls a²=b² - warum?
falls nicht, x=(a+-b)/(a-+b)
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Di 20.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
> bin bei [mm](a^2-b^2)(x-1)^2=0.[/mm]
Wie Du dorthin gelangt bist, ist mir schleierhaft ... ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
> Nun wäre ja theoretisch x=1 eine erste Lösung, aber dann
> würde in der Ausgangsgleichung durch 0 geteilt werden. Wie
> begründe ich nun also, dass das keine gültige Lösung ist?
Du musst Dir zu Beginn der Umformungen Gedanken über die Definitionsmenge der Gleichung machen.
Da bekanntermaßen das Teilen durch Null in der mathematischen Szene verpönt ist, muss gelten:
[mm] $$b^2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$$
[mm] $$(x-1)^2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$$
Daraus folgt dann unmittelbar:
$$b \ [mm] \not= [/mm] \ 0$$
$$x \ [mm] \not= [/mm] \ 1$$
> Und wie ich auf die Musterlösung komme, ist mir auch noch
> schleierhaft:
>
> unlösbar, falls a²=b² - warum?
> falls nicht, x=(a+-b)/(a-+b)
Was hast Du wie gerechnet? Wenn ich hier die Ausgangsgleichung mit dem Hauptnenner multipliziere, erhalte ich:
[mm] $$a^2*(x-1)^2 [/mm] \ = \ [mm] b^2*(x+1)^2$$
[/mm]
Multipliziere nun mal die Klammern aus und fasse alles auf einer Seite zusammen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Di 20.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Sehe gerade, Vorzeichenfehler...
Hört sich
x²+x*(-2)*(a²+b²)/(a²-b²)+1=0 besser an?
Mit pq-Formel komme ich da aber irgendwie nicht so recht weiter:
[mm] x=\bruch{a^2+b^2}{a^2-b^2}\pm\wurzel{(-\bruch{a^2+b^2}{a^2-b^2})^2-1}
[/mm]
Mit dem 3. Binom bekomme ich in die Wurzel vielleicht noch etwas mehr Ordnung, aber glaube nicht, dass ich damit dann auf die gewünschte Musterlösung komme. Aber immerhin habe ich damit schon gezeigt, dass a² nicht b² sein darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 20.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Sehe gerade, Vorzeichenfehler...
>
> Hört sich
> x²+x*(-2)*(a²+b²)/(a²-b²)+1=0 besser an?
>
> Mit pq-Formel komme ich da aber irgendwie nicht so recht
> weiter:
>
> [mm]x=\bruch{a^2+b^2}{a^2-b^2}\pm\wurzel{(-\bruch{a^2+b^2}{a^2-b^2})^2-1}[/mm]
Hallo,
man kann nur gleichnamige Brüche addieren/subtrahieren.
Ich empfehle dringend, die 1 unter der Wurzel zu [mm] (\bruch{a^2-b^2}{a^2-b^2})^2 [/mm] zu erweitern.
Gruß Abakus
>
> Mit dem 3. Binom bekomme ich in die Wurzel vielleicht noch
> etwas mehr Ordnung, aber glaube nicht, dass ich damit dann
> auf die gewünschte Musterlösung komme. Aber immerhin habe
> ich damit schon gezeigt, dass a² nicht b² sein darf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Di 20.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Dann stört das Quadrat mich aber doch immer noch. Sorry, stehe gerade ganz schön auf dem Schlauch... Bin ich denn überhaupt auf dem richtigen Weg zur gewünschten Lösungsmenge? Nicht, dass alles umsonst ist.
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Di 20.10.2009 | | Autor: | oli_k |
So, dann bin ich bei
[mm] \bruch{(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)} \pm 2ab*\wurzel{\bruch{1}{a^2-b^2}}
[/mm]
Fernab von der gewünschten Lösung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Di 20.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> So, dann bin ich bei
> [mm]\bruch{(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)} \pm 2ab*\wurzel{\bruch{1}{a^2-b^2}}[/mm]
>
> Fernab von der gewünschten Lösung...
Ja, da fehlt ein Quadrat womit die Wurzel wegfaellt. Wie bist du denn hierdrauf gekommen?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Di 20.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dann stört das Quadrat mich aber doch immer noch. Sorry,
> stehe gerade ganz schön auf dem Schlauch... Bin ich denn
> überhaupt auf dem richtigen Weg zur gewünschten
> Lösungsmenge? Nicht, dass alles umsonst ist.
Es ist [mm] $\sqrt{\frac{(a^2 + b^2)^2}{(a^2 - b^2)^2} - 1} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{(a^2 + b^2)^2}{(a^2 - b^2)^2} - \frac{(a^2 - b^2)^2}{(a^2 - b^2)^2}} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{(a^2 + b^2)^2 - (a^2 - b^2)^2}{(a^2 - b^2)^2}}$. [/mm] Nun ist $(X + [mm] Y)^2 [/mm] - (X - [mm] Y)^2 [/mm] = 4 X Y$, womit das ganze gleich [mm] $\sqrt{\frac{4 a^2 b^2}{(a^2 - b^2)^2}} [/mm] = [mm] \frac{2 a b}{a^2 - b^2}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Di 20.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Schaut euch bitte mal die angehangene Datei an. Unten
> drunter steht die Musterlösung. Kann einfach nicht finden,
> was ich falsch gemacht haben soll bzw. wie es ab meinem
> letzten Schritt weiter geht.
Die Datei fehlt. Und somit auch die eigentliche Aufgabenstellung. Wuerdest du sie mal hier hinschreiben?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Di 20.10.2009 | | Autor: | oli_k |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bitteschön. Mittlerweile aber schon mehrfach korrigiert. Ausgangsgleichung und Musterlösung sind aber drauf.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [mm]\bruch{a\,^2}{b\,^2}=\bruch{(x+1)^2}{(x-1)^2}[/mm]
Hallo Oli,
ich würde hier so vorgehen:
Die Gleichung hat die Form [mm] L^2=R^2
[/mm]
mit [mm] $L=\frac{a}{b}$ [/mm] und $\ [mm] R=\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$
[/mm]
Der Brüche wegen muss man natürlich [mm] b\not=0 [/mm] und [mm] x\not=1
[/mm]
voraussetzen.
Aus [mm] L^2=R^2 [/mm] kann man dann auf [mm] R=\pm [/mm] L schliessen, also:
[mm] $1+\frac{2}{x-1}\ [/mm] =\ [mm] \pm\,\frac{a}{b}$
[/mm]
Beidseitige Subtraktion von 1 ergibt:
[mm] $\frac{2}{x-1}\ [/mm] =\ [mm] \pm\,\frac{a}{b}-1\ [/mm] =\ [mm] \frac{\pm a-b}{b}$
[/mm]
Beidseitig den Kehrwert bilden:
[mm] $\frac{x-1}{2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{b}{\pm a-b}$
[/mm]
Verdoppeln:
$\ x-1\ =\ [mm] \frac{2*b}{\pm a-b}$
[/mm]
Eins addieren:
$\ x\ =\ [mm] \frac{2*b}{\pm a-b}+1$
[/mm]
Und jetzt die einzelnen Lösungen etwas vereinfachen:
$\ [mm] x_1\ [/mm] =\ [mm] \frac{2*b}{+a-b}+1\ [/mm] =\ [mm] \frac{2\,b+a-b}{a-b}\ [/mm] =\ [mm] \frac{a+b}{a-b}$
[/mm]
$\ [mm] x_2\ [/mm] =\ [mm] \frac{2*b}{-a-b}+1\ [/mm] =\ [mm] \frac{-2\,b+a+b}{a+b}\ [/mm] =\ [mm] \frac{a-b}{a+b}$
[/mm]
Natürlich versagen diese Formeln im Fall, wo der
Nenner Null wird. Dies bedeutet aber nicht, dass
es im Fall [mm] a^2=b^2\not=0 [/mm] keine Lösung gibt !
In diesem Fall ist x=0 sehr wohl eine Lösung der
Gleichung.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Di 20.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Aaah, danke, das war der Weg, den ich gesucht habe! 
x=0 kann aber deswegen keine Lösung sein, da in der Ausgangsgleichung x-x² im Nenner steht. Mir ist noch nie passiert, dass sich durch Äquivalenzumformungen quasi der Definitionsbereich geändert hat - x=0 wäre hier ja sehr wohl eine Lösung, wie du schon sagst.
Wie handhabe ich sowas nun?
2 ist ebenfalls vom D-Bereich ausgeschlossen - heißt das, im Falle a²/b²=9 gibt es auch keine Lösung? Davon steht in der Musterlösung nichts.
Danke!
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Hallo, wie gesagt x=0 ist eine Lösung für den Fall [mm] \bruch{a^{2}}{b^{2}}=1, [/mm] warum soll x=2 keine Lösung sein, du gibst doch selber den Hinweis auf [mm] \bruch{a^{2}}{b^{2}}=9, [/mm] Steffi
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> Aaah, danke, das war der Weg, den ich gesucht habe!
>
> x=0 kann aber deswegen keine Lösung sein, da in der
> Ausgangsgleichung x-x² im Nenner steht. Mir ist noch nie
> passiert, dass sich durch Äquivalenzumformungen quasi der
> Definitionsbereich geändert hat - x=0 wäre hier ja sehr
> wohl eine Lösung, wie du schon sagst.
>
> Wie handhabe ich sowas nun?
>
> 2 ist ebenfalls vom D-Bereich ausgeschlossen - heißt das,
> im Falle a²/b²=9 gibt es auch keine Lösung? Davon steht
> in der Musterlösung nichts.
>
> Danke!
Hallo Oli,
Was meinst du hier mit "Ausgangsgleichung" ?
So wie du die Aufgabe hier zuerst gestellt hast,
kommt jedenfalls kein Nenner [mm] x-x^2 [/mm] vor, und es
ist auch nicht zu sehen, weshalb x=2 ausgeschlos-
sen sein sollte.
Vielleicht bist du aber von einer anderen Aufgabe
her erst auf die Gleichung gekommen, die du hier
reingestellt hast ? Davon wussten wir aber nichts.
Nebenbei: "Musterlösungen" sind nicht immer
das, was der Begriff verspricht ...
LG Al-Chw.
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Es geht auch noch mit etwas weniger Bruchakrobatik:
[mm] $\bruch{a^2}{b^2}=\bruch{(x+1)^2}{(x-1)^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{a}{b}=\pm\,\bruch{x+1}{x-1}$
[/mm]
1.) [mm] $\bruch{a}{b}=\bruch{x+1}{x-1}$
[/mm]
$\ a*(x-1)=b*(x+1)$
$\ a*x-a=b*x+b$
$\ (a-b)*x=a+b$
$\ [mm] x=\frac{a+b}{a-b}$ [/mm] (falls [mm] b\not=a)
[/mm]
2.) [mm] $\bruch{a}{b}=-\bruch{x+1}{x-1}$
[/mm]
$\ a*(x-1)=-b*(x+1)$
$\ .....$
$\ .....$
$\ [mm] x=\,.....$ [/mm] (falls [mm] b\not=-a) [/mm]
Al-Chw.
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