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| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe, es sei g, h [mm] \in [/mm] G und n [mm] \in [/mm] Z. Man zeige [mm] (hgh^{-1})^n [/mm] = [mm] hg^nh^{-1}
[/mm]
Man zeige zunächst
1) [mm] (hgh^{-1})^{-1}=hg^{-1}h^{-1}
[/mm]
2) [mm] (hgh^{-1})^n [/mm] = [mm] hg^nh^{-1} [/mm] |
Guten Tag.
Zu 1) habe ich folgendes gemacht:
[mm] (hgh^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] (h*h^{-1}*g)^{-1} [/mm] = [mm] (e*g)^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1}*h*h^{-1} [/mm] = [mm] hg^{-1}h^{-1}
[/mm]
Ist diese Lösung so in Ordnung?
Zu 2) hab ich keine Idee, hat irgendjemand einen Rat?
Liebe Grüße.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei G eine Gruppe, es sei g, h [mm]\in[/mm] G und n [mm]\in[/mm] Z. Man
> zeige [mm](hgh^{-1})^n[/mm] = [mm]hg^nh^{-1}[/mm]
>
> Man zeige zunächst
> 1) [mm](hgh^{-1})^{-1}=hg^{-1}h^{-1}[/mm]
> 2) [mm](hgh^{-1})^n[/mm] = [mm]hg^nh^{-1}[/mm]
> Guten Tag.
> Zu 1) habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm](hgh^{-1})^{-1}[/mm] = [mm](h*h^{-1}*g)^{-1}[/mm] = [mm](e*g)^{-1}[/mm] = [mm]g^{-1}[/mm] =
> [mm]g^{-1}*h*h^{-1}[/mm] = [mm]hg^{-1}h^{-1}[/mm]
>
> Ist diese Lösung so in Ordnung?
Nein. Die Gruppe ist nicht als kommutativ vorausgesetzt !
Beachte: [mm] (a*b)^{-1}= b^{-1}*a^{-1}
[/mm]
>
> Zu 2) hab ich keine Idee, hat irgendjemand einen Rat?
Induktion
FRED
>
>
> Liebe Grüße.
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Wenn ich $ [mm] (a\cdot{}b)^{-1}= b^{-1}\cdot{}a^{-1} [/mm] $ beachtet dann folgt:
[mm] (hgh^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] h^{-1}*g^{-1}*h [/mm]
und [mm] h^{-1} [/mm] und h müssen noch getauscht werden daher: = [mm] h*g^{-1}*h^{-1}
[/mm]
richtig?
und wie setze ich die Induktion bei 2) an?
bis jetzt haben wir nur eine Induktion mit n gemacht also:
[mm] \sum^n_{k=1} [/mm] k = [mm] 1+2+\cdots+n [/mm] = [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm]
Also nach Gauß
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Hallo 1.Sem. und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Wenn ich [mm](a\cdot{}b)^{-1}= b^{-1}\cdot{}a^{-1}[/mm] beachtet
> dann folgt:
>
> [mm](hgh^{-1})^{-1}[/mm] = [mm]h^{-1}*g^{-1}*h[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dem [mm]a[/mm] in der Formel oben entspricht [mm]h[/mm] und dem [mm]b[/mm] das [mm]h^{-1}[/mm]
Also [mm]\left(hgh^{-1}\right)^{-1}=\left(h^{-1}\right)^{-1}g^{-1}h^{-1}=hg^{-1}h^{-1}[/mm]
Das solltest du aber bitte noch zeigen, also wieso du die Formel, die für 2 Elemente gilt, auch auf 3 Elemente anwenden kannst.+
Tipp: [mm] (abc)^{-1}=\left[a(bc)\right]^{-1}$ [/mm] und nun 2mal die Formel anwenden ...
> und [mm]h^{-1}[/mm] und h müssen noch getauscht werden daher: =
> [mm]h*g^{-1}*h^{-1}[/mm]
>
> richtig?
Nein, nochmal: Die Gruppe muss in keiner Weise abelsch sein, das Kommutativgesetz muss nicht gelten, das darfst du also nicht benutzen!
>
> und wie setze ich die Induktion bei 2) an?
> bis jetzt haben wir nur eine Induktion mit n gemacht
> also:
>
> [mm]\sum^n_{k=1}[/mm] k = [mm]1+2+\cdots+n[/mm] = [mm]\frac{n(n+1)}{2}[/mm]
Die Induktion geht hier über [mm]\IZ[/mm], mache sie zunächst über [mm]\IN[/mm] und erweiter sie auf [mm]\IN^{-}[/mm] (also die negativen ganzen Zahlen).
Bedenke, dass du mit [mm]n\in\IN^{-}[/mm] dann [mm]-n\in\IN[/mm] hast.
Benutze damit dann 1)
Der Induktionsschritt ist jeweils trivialst, einfach hinschreiben ...
>
> Also nach Gauß
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank schachuzipus
Ich hab's mal mit deinen Tipps versucht:
Also: [mm] (abc)^{-1}=\left[a(bc)\right]^{-1}=(bc)^{-1}*a^{-1}=c^{-1}*b^{-1}*a^{-1}
[/mm]
das nun auf 1) angewandt sieht das so aus:
[mm] (hgh^{-1})^{-1}=(h(gh^{-1}))^{-1}=(gh^{-1})^{-1}*h^{-1}=h*g^{-1}*h^{-1}
[/mm]
oder hab ich hier was falsch angewandt?
Zu 2)
Gibt es irgendwo eine Seite wie ich das nachlesen kann?
Mir scheint, ich habe zwar das Prinzip verstanden, aber sobald es irgendwie schwieriger wird mit einer Induktion, dann scheitere ich.
Bis hatten wir es so:
S(n)=1+2+...+n
[mm] S(n)=\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] <- also die Gaußsche Summenformel
Induktionsanfang: n=1
S(1) = [mm] \bruch{1(1+1)}{2} [/mm] = 1 <- also gilt die Formel für n=1
Induktionsschritt: n -> n+1
da S(n) = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] gilt muss ich zeigen, dass daraus [mm] S(n+1)=\bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] folgt.
[mm] S(n+1)=S(n)+(n+1)=\bruch{n(n+1)}{2}+n+1=\bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank schachuzipus
> Ich hab's mal mit deinen Tipps versucht:
>
> Also:
> [mm](abc)^{-1}=\left[a(bc)\right]^{-1}=(bc)^{-1}*a^{-1}=c^{-1}*b^{-1}*a^{-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das nun auf 1) angewandt sieht das so aus:
>
> [mm](hgh^{-1})^{-1}=(h(gh^{-1}))^{-1}=(gh^{-1})^{-1}*h^{-1}=h*g^{-1}*h^{-1}[/mm]
>
> oder hab ich hier was falsch angewandt?
Nein!
> Zu 2)
> Gibt es irgendwo eine Seite wie ich das nachlesen kann?
> Mir scheint, ich habe zwar das Prinzip verstanden, aber
> sobald es irgendwie schwieriger wird mit einer Induktion,
> dann scheitere ich.
>
> Bis hatten wir es so:
> S(n)=1+2+...+n
> [mm]S(n)=\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] <- also die Gaußsche Summenformel
>
> Induktionsanfang: n=1
> S(1) = [mm]\bruch{1(1+1)}{2}[/mm] = 1 <- also gilt die Formel für
> n=1
>
> Induktionsschritt: n -> n+1
> da S(n) = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] gilt muss ich zeigen, dass
> daraus [mm]S(n+1)=\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm] folgt.
>
> [mm]S(n+1)=S(n)+(n+1)=\bruch{n(n+1)}{2}+n+1=\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
Wieso schreibst du das hin? Induktion macht man nicht nur für Summenaussagen.
Mache hier über [mm]n\in\IN[/mm] Induktion, dann mit 1) auf [mm]\IZ[/mm] übertragen
IA: [mm]n=1[/mm]
zz.: [mm]\left(hgh^{-1}\right)^1=hg^1h^{-1}[/mm]
Das steht ja direkt da
IS: [mm]n\to n+1[/mm]
IV: Sei [mm]n\in\IN[/mm] bel., aber fest und gelte [mm]\left(hgh^{-1}\right)^n=hg^nh^{-1}[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass gefälligst auch gilt: [mm]\left(hgh^{-1}\right)^{n+1}=hg^{n+1}h^{-1}[/mm]
Dazu nimm die linke Seite her, forme etwas um, damit du die IV benutzen kannst:
[mm]\left(hgh^{-1}\right)^{n+1}=\left(hgh^{-1}\right)^n\left(hgh^{-1}\right)[/mm]
Nun die IV benutzen und dann die Assoziativität der Verknüpfung ausnutzen.
Es ist wirklich trivial.
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Es sei G eine Gruppe, es sei g, h [mm]\in[/mm] G und n [mm]\in[/mm] Z. Man
> zeige [mm](hgh^{-1})^n[/mm] = [mm]hg^nh^{-1}[/mm]
>
> Man zeige zunächst
> 1) [mm](hgh^{-1})^{-1}=hg^{-1}h^{-1}[/mm]
Tipp zu 1): Ich hätte an deiner Stelle einfach mal [mm] (hgh^{-1})*hg^{-1}h^{-1} [/mm] ausgerechnet. Wenn dabei das neutrale Element herauskommt, also e, ist [mm] hg^{-1}h^{-1} [/mm] das Inverse zu [mm] hgh^{-1} [/mm] und damit wäre die Gleichung bewiesen...
Viele Grüße
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