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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mi 11.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Gegeben sei folgende Gleichung:
[mm] z*e^{\bruch{t}{3}}+6sin(\pi*t)+9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)=0
[/mm]
Ermitteln Sie die Definitionsbereiche von z und t und untersuchen Sie die Gleichung auf Nullstellen! |
Moin,
folgende Lösung habe ich zu bieten. Könntet Ihr mir wohl sagen, ob ich richtig gerechnet habe? Danke im voraus!
[mm] z*e^{\bruch{t}{3}}+6sin(\pi*t)+9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)=0
[/mm]
[mm] -z=\bruch{6sin(\pi*t)+9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)}{e^{\bruch{t}{3}}}
[/mm]
[mm] z=\bruch{-6sin(\pi*t)-9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)}{e^{\bruch{t}{3}}}
[/mm]
Definitionsbereiche:
[mm] z\in\IR [/mm] ; [mm] t\in\IR
[/mm]
Nullstellen:
[mm] -6sin(\pi*t)-9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)=0
[/mm]
[mm] sin(\pi*t)(-9cos(3\pi*t)-6)=0
[/mm]
[mm] sin(\pi*t)=0 [/mm] v [mm] -9cos(3\pi*t)-6=0
[/mm]
I.
[mm] sin(\pi*t)=0
[/mm]
[mm] \pi*t=0+2\pi*k
[/mm]
[mm] t_{1}=2*k
[/mm]
[mm] \pi*t=\pi+2*\pi*k
[/mm]
[mm] t_{2}=1+2*k
[/mm]
II.
[mm] -9cos(3\pi*t)-6=0
[/mm]
[mm] cos(3\pi*t)=-\bruch{6}{9}
[/mm]
[mm] cos(3\pi*t)=-\bruch{2}{3}
[/mm]
Hilfswinkel:
[mm] 0°<\alpha<90°
[/mm]
[mm] cos\alpha=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \alpha arccos=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] cos(3\pi*t)=cos(\pi-\alpha+2\pi*k)
[/mm]
[mm] (3\pi*t)=\pi-\alpha+2\pi*k
[/mm]
[mm] t_{3}=\bruch{\pi-\alpha+2\pi*k}{3\pi}
[/mm]
[mm] t_{4}=\bruch{\pi+\alpha+2\pi*k}{3\pi}
[/mm]
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Gegeben sei folgende Gleichung:
>
> [mm]z*e^{\bruch{t}{3}}+6sin(\pi*t)+9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)=0[/mm]
>
> Ermitteln Sie die Definitionsbereiche von z und t und
> untersuchen Sie die Gleichung auf Nullstellen!
> Moin,
>
> folgende Lösung habe ich zu bieten. Könntet Ihr mir wohl
> sagen, ob ich richtig gerechnet habe? Danke im voraus!
>
> [mm]z*e^{\bruch{t}{3}}+6sin(\pi*t)+9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)=0[/mm]
>
> [mm]-z=\bruch{6sin(\pi*t)+9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)}{e^{\bruch{t}{3}}}[/mm]
>
> [mm]z=\bruch{-6sin(\pi*t)-9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)}{e^{\bruch{t}{3}}}[/mm]
>
> Definitionsbereiche:
>
> [mm]z\in\IR[/mm] ; [mm]t\in\IR[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nullstellen:
>
Hier berechnest Du die Nullstellen für z=0.
Die Gleichung hat aber auch Nullstellen für [mm]z \not=0[/mm].
> [mm]-6sin(\pi*t)-9cos(3\pi*t)sin(\pi*t)=0[/mm]
>
> [mm]sin(\pi*t)(-9cos(3\pi*t)-6)=0[/mm]
>
> [mm]sin(\pi*t)=0[/mm] v [mm]-9cos(3\pi*t)-6=0[/mm]
>
> I.
>
> [mm]sin(\pi*t)=0[/mm]
>
> [mm]\pi*t=0+2\pi*k[/mm]
>
> [mm]t_{1}=2*k[/mm]
>
> [mm]\pi*t=\pi+2*\pi*k[/mm]
>
> [mm]t_{2}=1+2*k[/mm]
>
Summa summarum:[mm]t_{1}=k, \ k\in \IZ[/mm]
> II.
>
> [mm]-9cos(3\pi*t)-6=0[/mm]
>
> [mm]cos(3\pi*t)=-\bruch{6}{9}[/mm]
>
> [mm]cos(3\pi*t)=-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Hilfswinkel:
>
> [mm]0°<\alpha<90°[/mm]
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]\alpha arccos=\bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> [mm]cos(3\pi*t)=cos(\pi-\alpha+2\pi*k)[/mm]
>
> [mm](3\pi*t)=\pi-\alpha+2\pi*k[/mm]
>
Es ist doch [mm]\cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\blue{2\pi}-\alpha\right)[/mm]
> [mm]t_{3}=\bruch{\pi-\alpha+2\pi*k}{3\pi}[/mm]
>
> [mm]t_{4}=\bruch{\pi+\alpha+2\pi*k}{3\pi}[/mm]
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 11.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo, noch eine Frage zu Deinen Anmerkungen. Danke nochmal, dass Du Dir die Zeit genommen hast, mir zu helfen!
> Gegeben sei folgende Gleichung:
>
> $ [mm] z\cdot{}e^{\bruch{t}{3}}+6sin(\pi\cdot{}t)+9cos(3\pi\cdot{}t)sin(\pi\cdot{}t)=0 [/mm] $
>
> Ermitteln Sie die Definitionsbereiche von z und t und
> untersuchen Sie die Gleichung auf Nullstellen!
> Moin,
>
> folgende Lösung habe ich zu bieten. Könntet Ihr mir wohl
> sagen, ob ich richtig gerechnet habe? Danke im voraus!
>
> $ [mm] z\cdot{}e^{\bruch{t}{3}}+6sin(\pi\cdot{}t)+9cos(3\pi\cdot{}t)sin(\pi\cdot{}t)=0 [/mm] $
>
> $ [mm] -z=\bruch{6sin(\pi\cdot{}t)+9cos(3\pi\cdot{}t)sin(\pi\cdot{}t)}{e^{\bruch{t}{3}}} [/mm] $
>
> $ [mm] z=\bruch{-6sin(\pi\cdot{}t)-9cos(3\pi\cdot{}t)sin(\pi\cdot{}t)}{e^{\bruch{t}{3}}} [/mm] $
>
> Definitionsbereiche:
>
> $ [mm] z\in\IR [/mm] $ ; $ [mm] t\in\IR [/mm] $
>
> Nullstellen:
>
Hier berechnest Du die Nullstellen für z=0.
Die Gleichung hat aber auch Nullstellen für $ z [mm] \not=0 [/mm] $.
Kannst Du das mit den Nullstellen für [mm] z\not=0 [/mm] nochmal näher erklären ?
> $ [mm] -6sin(\pi\cdot{}t)-9cos(3\pi\cdot{}t)sin(\pi\cdot{}t)=0 [/mm] $
>
> $ [mm] sin(\pi\cdot{}t)(-9cos(3\pi\cdot{}t)-6)=0 [/mm] $
>
> $ [mm] sin(\pi\cdot{}t)=0 [/mm] $ v $ [mm] -9cos(3\pi\cdot{}t)-6=0 [/mm] $
>
> I.
>
> $ [mm] sin(\pi\cdot{}t)=0 [/mm] $
>
> $ [mm] \pi\cdot{}t=0+2\pi\cdot{}k [/mm] $
>
> $ [mm] t_{1}=2\cdot{}k [/mm] $
>
> $ [mm] \pi\cdot{}t=\pi+2\cdot{}\pi\cdot{}k [/mm] $
>
> $ [mm] t_{2}=1+2\cdot{}k [/mm] $
>
Summa summarum:$ [mm] t_{1}=k, [/mm] \ [mm] k\in \IZ [/mm] $
> II.
>
> $ [mm] -9cos(3\pi\cdot{}t)-6=0 [/mm] $
>
> $ [mm] cos(3\pi\cdot{}t)=-\bruch{6}{9} [/mm] $
>
> $ [mm] cos(3\pi\cdot{}t)=-\bruch{2}{3} [/mm] $
>
> Hilfswinkel:
>
> $ [mm] 0°<\alpha<90° [/mm] $
>
> $ [mm] cos\alpha=\bruch{2}{3} [/mm] $
>
> $ [mm] \alpha arccos=\bruch{2}{3} [/mm] $
>
>
> $ [mm] cos(3\pi\cdot{}t)=cos(\pi-\alpha+2\pi\cdot{}k) [/mm] $
>
> $ [mm] (3\pi\cdot{}t)=\pi-\alpha+2\pi\cdot{}k [/mm] $
>
Es ist doch $ [mm] \cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\blue{2\pi}-\alpha\right) [/mm] $
Wieso denn [mm] 2\pi [/mm] und nicht [mm] \pi [/mm] ?
> $ [mm] t_{3}=\bruch{\pi-\alpha+2\pi\cdot{}k}{3\pi} [/mm] $
>
> $ [mm] t_{4}=\bruch{\pi+\alpha+2\pi\cdot{}k}{3\pi} [/mm] $
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest die Nullstelenn der Gl. ausrechnen, du hast die t ausgerechnet, so dass die Gl. für z=0 erfüllt ist. du kannst sie aber auch wenn auch schwieriger für z=1 oder andere z ausrechnen.
allerdings ist die Aussage Nullstellen einer Gleichung etwa eigenartig! Die gleichung ist f(z,t)=0
also kann man a) die Paare (z,t) suchen, die die Gl erfüllen.
b) man kann wie du f(0,t)=0 und dann noch f(z,0)=0 ausrechnen
allgemein hast du ja a) mit z=f(t) mit allen paaren (f(t),t) die Gl erfüllt.
also sollst du wohl nur noch f(z,0) untersuchen.
oder nachfragen was die Nullstellen einer Gleichung sein sollen.
Gruss leduart
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