Gleichungen in \IC < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle L¨osungen folgender Gleichungen:
a) [mm] z^2-4iz+4z-8i=0
[/mm]
b) [mm] (z-3i)^2 [/mm] + [mm] (z-4i)^2 [/mm] + 25 = 0
c) (z - 1 - 2i)z = 3 - i |
a) [mm] z^2-4iz+4z-8i=0
[/mm]
ich hätte zuerst die quadratische ergänzung gebildet, aber ich weiß nicht wie ich es hier bilden soll
das i verwirrt mich und kann man 4iz+4z zusammenfassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Sa 02.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Berechnen Sie alle L¨osungen folgender Gleichungen:
>
> a) [mm]z^2-4iz+4z-8i=0[/mm]
>
> b) [mm](z-3i)^2[/mm] + [mm](z-4i)^2[/mm] + 25 = 0
>
> c) (z - 1 - 2i)z = 3 - i
> a) [mm]z^2-4iz+4z-8i=0[/mm]
>
> ich hätte zuerst die quadratische ergänzung gebildet,
> aber ich weiß nicht wie ich es hier bilden soll
Du hast
[mm] z^{2}-4iz+4z-8i=0
[/mm]
In der Mitte Ausklammern
[mm] $z^{2}+(4-4i)\cdot [/mm] z-8i=0$
Nun die p-q-Formel mit q)-8i und p=4-4i, also [mm] \frac{p}{2}=2-2i
[/mm]
Das führt zu
[mm] z_{1;2}=-(2-2i)\pm\sqrt{(2-2i)^{2}+8i}
[/mm]
Nun wieder du.
>
> das i verwirrt mich und kann man 4iz+4z zusammenfassen?
Man kann.
Löse so auch die anderen Gleichungen mit der p-q-Formel.
Marius
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> Du hast
> [mm]z^{2}-4iz+4z-8i=0[/mm]
> In der Mitte Ausklammern
wieso klammert man hier die mitte aus?
> [mm]z^{2}+(4-4i)\cdot z-8i=0[/mm]
> Nun die p-q-Formel mit q)-8i und
> p=4-4i
wieso ist p=4-4i und nicht P=z*(4-4i)
mein tutor hat gesagt, wir sollen die pq formel bei komplexen zahlen vermeiden. kenne die begründung nicht mehr genau. es kann später zu problemen führen oder so
ich soll lieber mit der quadratischen Ergänzung arbeiten. ich selber bevorzuge die mitternachtsformel
a) [mm] z^2-4iz+4z-8i=0
[/mm]
[mm] z^2+z(4-4i)-8i=0
[/mm]
quadratische Ergänzung:
[mm] (z^2+z(4-4i)+(\bruch{4-4i}{2})^2)= 8i+(\bruch{4-4i}{2})^2
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] \bruch{4-4i}{2}= [/mm] (2-2i)
[mm] (z-(2-2i))^2=8i+(\bruch{4-4i}{2})^2
[/mm]
ich hätte jetzt hier die wurzel gezogen, aber was passiert mit den 8i?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> > Du hast [mm]z^{2}-4iz+4z-8i=0[/mm]
> > In der Mitte Ausklammern
>
> wieso klammert man hier die mitte aus?
Um auf die Normalform für quadratische Gleichungen zu kommen:
[mm] $z^2+p*z+q [/mm] \ = \ 0$
> > [mm]z^{2}+(4-4i)\cdot z-8i=0[/mm]
> > Nun die p-q-Formel mit
> q)-8i und
> > p=4-4i
>
> wieso ist p=4-4i und nicht P=z*(4-4i)
Weil $p_$ immer der Faktor vor dem $z_$ ist (wie schon bereits in der Mittelstufe).
> a) [mm]z^2-4iz+4z-8i=0[/mm]
>
> [mm]z^2+z(4-4i)-8i=0[/mm]
>
> quadratische Ergänzung:
>
> [mm](z^2+z(4-4i)+(\bruch{4-4i}{2})^2)= 8i+(\bruch{4-4i}{2})^2[/mm]
>
> Nebenrechnung: [mm]\bruch{4-4i}{2}=[/mm] (2-2i)
>
> [mm](z-(2-2i))^2=8i+(\bruch{4-4i}{2})^2[/mm]
Wende doch das Ergebnis der Nebenrechung auch auf der rechten Seite der Gleichung an.
> ich hätte jetzt hier die wurzel gezogen, aber was passiert mit den 8i?
Nichts: es bleibt stehen:
$z-(2-2i) \ = \ [mm] \pm\wurzel{8i+(2-2i)^2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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man kann also wurzel aus i ziehen?
müsste man nicht in die polarkoordinaten umformen?
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Hallo nochmal,
> man kann also wurzel aus i ziehen?
Wenn man sich im Klaren darüber ist, was man mit einer Wurzel einer komplexen Zahl meint, kann man das machen ..
>
> müsste man nicht in die polarkoordinaten umformen?
Das wäre eine Möglichkeit.
Was ist denn [mm] $\sqrt{i}$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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[mm] z^2-4iz+4z-8i=0
[/mm]
[mm] z^2+z(4-4i)-8i=0
[/mm]
quadratische Ergänzung:
[mm] (z^2+z(4-4i)+(\bruch{4-4i}{2})^2)= 8i+(\bruch{4-4i}{2})^2
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] \bruch{4-4i}{2}=(2-2i)
[/mm]
[mm] (z-(2-2i))^2=8i+(2-2i)^2
[/mm]
ich möchte hier nicht die wurzel ziehen wegen dem i auf der rechten seite. deshalb möchte ich die rechte seite in polarform darstellen
[mm] 8i+(2-2i)^2=8i+(4-8i+4i^2)= [/mm] 8i+(4-8i+4*(-1))= 8i+(4-8i-4)=8i-8i=0
so dann habe ich:
[mm] (z-(2-2i))^2=0
[/mm]
[mm] (z-2+2i)^2=0
[/mm]
EDIT:
wie geht es hier weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 03.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Produkt ist 0 wenn einer der Faktoren 0 ist, ein Quadrat ist also 0 wenn....
Ist dir eigentlich klar, dass abc und pq Formel nichts anderes sind als quadratische Ergänzung, mit allgemeinem a,b,x bzw p und q?
Gruss leduart
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b) löse ich mal ohne quadratische ergänzung:
[mm] (z-3i)^2+(z-4i)^2+25=0
[/mm]
[mm] 2z^2-14zi=0
[/mm]
z(2z-14i)=0
z=7i
c) soll mit quadratischer ergänzung gelöst werden
(z-1-2i)*z=3-i
[mm] z^2-z-2zi=3-i
[/mm]
ich weiß jetzt nicht wie ich hier die quadratische ergänzung bilde. ich habe da irgendwo ein denkfehler
quadratische gleichung: [mm] x^2+bx+c
[/mm]
wo wäre dann hier bx?
muss ich z ausklammern? --> z(1-2i) dann wäre z das x und (1-2i) das b?
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[mm] z^2-z-2zi-3+i=0
[/mm]
[mm] z^2-(1+2i)z-3+i=0
[/mm]
quadratische ergänzung
[mm] (z^2-(1+2i)z+\bruch{9}{4})-\bruch{9}{4}-3+i=0
[/mm]
[mm] (z-\bruch{3}{2})^2= \bruch{21}{4}-i
[/mm]
[mm] z-\bruch{3}{2}=\wurzel{\bruch{21}{4}-i}
[/mm]
z= [mm] \wurzel{\bruch{21}{4}-i} [/mm] *2/-3
ist das so richtig?
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Hallo arbeitsamt,
ich habe den Rest des Threads nicht gelesen, aber das hier stimmt so noch nicht:
> [mm]z^2-z-2zi-3+i=0[/mm]
>
> [mm]z^2-(1+2i)z-3+i=0[/mm]
Bis hierhin gut.
> quadratische ergänzung
>
> [mm](z^2-(1+2i)z+\bruch{9}{4})-\bruch{9}{4}-3+i=0[/mm]
Woher kommen denn die [mm] \tfrac{9}{4}\? [/mm]
Hier gehört doch [mm] \left(-\bruch{1+2i}{2}\right)^2 [/mm] hin, und das ist nicht [mm] \tfrac{9}{4}.
[/mm]
Damit ist der Rest auch hinfällig.
Mach hier mal weiter.
Grüße
reverend
PS: Ackerst Du Dich eigentlich ganz allein durch den umfangreichen Stoff, den Du in letzter Zeit hier bearbeitest, oder gibts dazu auch einen Kurs?
> [mm](z-\bruch{3}{2})^2= \bruch{21}{4}-i[/mm]
>
> [mm]z-\bruch{3}{2}=\wurzel{\bruch{21}{4}-i}[/mm]
>
> z= [mm]\wurzel{\bruch{21}{4}-i}[/mm] *2/-3
>
>
> ist das so richtig?
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> Woher kommen denn die [mm]\tfrac{9}{4}\?[/mm]
>
> Hier gehört doch [mm]\left(-\bruch{1+2i}{2}\right)^2[/mm] hin, und
> das ist nicht [mm]\tfrac{9}{4}.[/mm]
also ich komme auf [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
ich habe das i hier ignoriert. ist das der fehler? wie mache ich dann hier die quadratische ergänzung
> PS: Ackerst Du Dich eigentlich ganz allein durch den
> umfangreichen Stoff, den Du in letzter Zeit hier
> bearbeitest, oder gibts dazu auch einen Kurs?
ich lerne alleine
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Hallo,
> > Woher kommen denn die [mm]\tfrac{9}{4}\?[/mm]
> >
> > Hier gehört doch [mm]\left(-\bruch{1+2i}{2}\right)^2[/mm] hin, und
> > das ist nicht [mm]\tfrac{9}{4}.[/mm]
>
> also ich komme auf [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
schön. Dann hast du andere Regeln als wir. 
>
> ich habe das i hier ignoriert. ist das der fehler? wie
> mache ich dann hier die quadratische ergänzung
>
In der Mathematik kann man Feierabend machen, wenn man einfach Dinge ignoriert, die gerade irgendwie unpassend kommen...
>
> > PS: Ackerst Du Dich eigentlich ganz allein durch den
> > umfangreichen Stoff, den Du in letzter Zeit hier
> > bearbeitest, oder gibts dazu auch einen Kurs?
>
> ich lerne alleine
Ist dir denn generell die Methode der quadratischen Ergänzung überhaupt klar, das sieht nämlich nicht so aus?
Es ist
[mm]\left(-\frac{1+2i}{2}\right)^2=\left(\frac{1+2i}{2}\right)^2=\frac{1+4i-4}{4}=\frac{-3+4i}{4}[/mm]
Probiere es damit nochmals.
Gruß, Diophant
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ok ich versuche es nochmal
[mm] z^2-z-2zi-3+i= [/mm] 0
= [mm] z^2-(1+2i)z-3+i= [/mm] 0
= [mm] (z^2-(1+2i)z+\bruch{-3+4i}{4})-\bruch{-3+4i}{4}-3+i=0
[/mm]
= [mm] (z^2-(1+2i)z+\bruch{-3+4i}{4})= \bruch{-3+4i}{4}+3-i
[/mm]
wie bringe ich jetzt die linke seite in die scheitelpunktform?
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Hallo,
> ok ich versuche es nochmal
>
> [mm]z^2-z-2zi-3+i=[/mm] 0
>
> = [mm]z^2-(1+2i)z-3+i=[/mm] 0
>
> = [mm](z^2-(1+2i)z+\bruch{-3+4i}{4})-\bruch{-3+4i}{4}-3+i=0[/mm]
>
> = [mm](z^2-(1+2i)z+\bruch{-3+4i}{4})= \bruch{-3+4i}{4}+3-i[/mm]
>
> wie bringe ich jetzt die linke seite in die
> scheitelpunktform?
Das meinte ich. Das hat doch hier nichts mehr mit einer Scheitelpunktform zu tun. Du bringst also den Sinn und Zweck der quadratischen Ergänzung durcheinander mit einer relativ populären und aus der Schule bekannten Anwendung derselben.
Die Quadratische Ergänzung wurde einst im Arabischen mit al-jabr bezeichnet und ist somit namensgebend für unser heutiges Wort Algebra. Sie ist nichts anderes, als die der sog. Mitternachtsformel zu Grunde liegende Methode zur Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung. Sicherlich wurde sie damals (ca. 800 n.Chr.) nur auf reelle Zahlen (von denen man aber auch noch keine klare Vorstellun g hatte) angewendet. Auf Grund der Zusammenhänge zwischen den reellen und den komplexen Zahlen ist sie aber im Komplexen unverändert gültig und funktioniert insbesondere genau so, als ob es sich um reelle Zahlen handeln würde.
Frage dich also: wazu hast du das ganze überhaupt gemacht? Richtig, um die Gleichung durch Radizieren lösen zu können. Also genau deshalb:
[mm]z^2-(1+2i)z+\frac{-3+4i}{4}=\left(z-\left(\frac{1+2i}{2}\right)\right)^2[/mm]
Wende das auf die linke Seite an und vereinfache die rechte Seite. Dann wirst du feststellen, dass du jetzt mit Radizieren leicht zum Ziel kommst.
Gruß, Diophant
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