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| Aufgabe | Das System $ [mm] \{cosnx, sinnx\}_{n=0,1,...} [/mm] $ ist orthogonal bezüglich des Skalarproduktes:
$ [mm] (f,g):=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*\overline{g(x)} dx} [/mm] $ |
Ich habe leider durch eine Suchmaschine nichts weiter dazu gefunden und wüsste gerne, wie folgendes genau gemeint ist:
In das Skalarprodukt (f,g) setze ich ja cos(nx), bzw. sin(nx) ein. Darf ich jedoch für f nur den Cosinus und für g nur den Sinus einsetzen (weil f und Cosinus jeweils auf der linken Seite stehen und für g analog), sprich: (cos[nx],sin[kx]) und dann darauf die Orthogonalität prüfen für n=k und $ [mm] n\not= [/mm] k $ ? Oder muss ich die Orthogonalität auch so prüfen, sprich jede Kombination:
(sin[nx],sin[kx])
(cos[nx],cos[kx]) ?
Es geht mir dabei darum, wie ich so ein System grundsätzlich auffasse.
Vielen Danl für Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 29.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das System [mm]\{cosnx, sinnx\}_{n=0,1,...}[/mm] ist orthogonal
> bezüglich des Skalarproduktes:
>
> [mm](f,g):=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*\overline{g(x)} dx}[/mm]
>
> Ich habe leider durch eine Suchmaschine nichts weiter dazu
> gefunden und wüsste gerne, wie folgendes genau gemeint
> ist:
>
> In das Skalarprodukt (f,g) setze ich ja cos(nx), bzw.
> sin(nx) ein. Darf ich jedoch für f nur den Cosinus und
> für g nur den Sinus einsetzen (weil f und Cosinus jeweils
> auf der linken Seite stehen und für g analog), sprich:
> (cos[nx],sin[kx]) und dann darauf die Orthogonalität
> prüfen für n=k und [mm]n\not= k[/mm] ? Oder muss ich die
> Orthogonalität auch so prüfen, sprich jede Kombination:
>
> (sin[nx],sin[kx])
> (cos[nx],cos[kx]) ?
>
> Es geht mir dabei darum, wie ich so ein System
> grundsätzlich auffasse.
naja, das ist doch eigentlich klar:
[mm] $$\{\cos nx, \sin nx\}_{n=0,1,...}$$
[/mm]
(was ich persönlich lieber als Familie schreiben würde - aber egal) ist nichts anderes als
[mm] $$\{\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x,\cos 3x,\sin 3x,\ldots\}\,.$$
[/mm]
Also die Familie
[mm] $$(a_n,b_n)_{n=0,\ldots}$$
[/mm]
ist
[mm] $$(a_0,b_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots)\,.$$
[/mm]
Und dann heißt die Orhogonalität, wenn [mm] $c_k,c_\ell$ [/mm] aus dieser Familie sind (und gehen wir davon aus, dass [mm] $c_k \not=c_\ell$ [/mm] für alle $k [mm] \not=\ell$), [/mm] dass [mm] $=0$ [/mm] für $k [mm] \not=\ell\,.$
[/mm]
Also:
Bei Dir wäre neben
[mm] $$<\cos [/mm] nx, [mm] \cos [/mm] mx>=0$$
für natürliche $n [mm] \not=m$ [/mm] (inklusive Null) (beachte, dass für natürliche $n [mm] \not=m$ [/mm] (für eine der Zahlen [mm] $n\,$ [/mm] oder [mm] $m\,$ [/mm] ist auch Null erlaubt!) auch [mm] $\cos (n\cdot) \not=\cos [/mm] (m [mm] \cdot)$ [/mm] sein muss - warum?) auch nachzurechnen, dass
[mm] $$<\sin [/mm] nx, [mm] \cos [/mm] mx>=0$$
für alle $n,m $ gilt (auch hier sollte man begründen, warum [mm] $\sin nx=\cos [/mm] mx$ nicht für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten kann),
UND ZUDEM, DASS
[mm] $$<\sin [/mm] nx, [mm] \sin mx>=0\,$$
[/mm]
für alle $n [mm] \not=m$ [/mm] gilt.
P.S.
Der Deutlichkeit wegen habe ich das Skalarprodukt zwischen [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] so geschrieben: [mm] $\,.$
[/mm]
P.P.S.
Sauberer wäre übrigens solch' eine Notation (beispielhaft)
[mm] $$<\sin [/mm] (n [mm] \cdot),\sin(m \cdot)>=0$$
[/mm]
für alle natürlichen $n [mm] \not=m\,.$
[/mm]
Ergänzung:
Auch ![[]](/images/popup.gif) hier (Klick!) kannst Du selbst ein wenig (mehr) dazu nachlesen!
Gruß,
Marcel
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