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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 So 12.11.2006 | | Autor: | Klausi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie a) für [mm] K=\IR, [/mm] b) für [mm] K=\IF_{2}, [/mm] ob ein lineares GS mit 2 Gleichungen in 3 Unbekannten über K eine Lösungsmenge mit genau 4 Elementen haben kann. (Jeweils müssen Sie ein Beispiel eines solchen Systems angeben oder die Unmöglichkeit begründen
Sei A [mm] \in K^{m x n}, [/mm] W:=Lös(A,0) und b [mm] \in K^{m x 1} [/mm] . Zeigen Sie:
a) Die Addition in [mm] K^{n x 1} [/mm] liefert auf W eine Verknüpfung, mit der W eine abelsche Gruppe ist. Ferner gilt [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] W für alle [mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] x\in [/mm] W.
b) Ist Ax=b lösbar, so gilt für jedes (feste) v [mm] \in [/mm] Lös(A,b):
Lös(A,b) = v+W(:={v+w l w [mm] \in [/mm] W}) |
Hallo,
kann mir bitte jemand bei diesen Aufgaben helfen, hab echt keinen Plan wie ich da ran gehen soll??
Vielen Dank schon mal im voraus
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Seien [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] aus W. Dann gilt [mm] A(w_1+w_2) [/mm] = [mm] Aw_1+Aw_2 [/mm] = 0+0 = 0, also ist W abgeschlossen. Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesezt gelten, da sie in [mm] K^{nxl} [/mm] gelten. Das neutrale Element 0 ist in W, da trivialerweise A0=0. Weiterhin A(-w) = -Aw = -0 = 0, also gibt es auch inverse.
Ebenso [mm] A(\lambdaw) [/mm] = [mm] \lambdaAw [/mm] = [mm] \lambda0 [/mm] = 0.
Sei [mm] v_0 [/mm] eine feste Lösung von Ax = b und v eine beliebige Lösung. Dann gilt [mm] A(v-v_0) [/mm] = Av - [mm] Av_0 [/mm] = b - b = 0, also v = [mm] v_0 [/mm] + w mit [mm] w\inW [/mm] geeignet.
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Wegen des zweiten Teils genügt es den Kern der Abbildung (d.h. W) zu betrachten. Sei [mm] w\inW [/mm] mit [mm] w\not=0. [/mm] Dann sind alle [mm] \lambdaw\inW [/mm] mit [mm] \lambda\inK. [/mm] Für [mm] K=\IR [/mm] sind das unendlich viele.
Für [mm] K=\IF_{2} [/mm] wähle A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }. [/mm] Der Kern W besteht aus W = [mm] {\vektor{0 \\ 0 \\ 0}; \vektor{1 \\ 0 \\ 0}; \vektor{0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{1 \\ 1 \\ 0}}.
[/mm]
1. Neuer Teil:
Die Lösungsmenge von Ax=b ist entweder leer oder genauso mächtig wie die Lösungsmenge von Ax=0. Diese Behauptung folgt unmittelbar aus dem zweiten Teil der Aufgabe.
Deshalb genügt es für den ersten Teil der Aufgabe nur die Lösungsmenge von Ax=0 zu betrachten.
Sei [mm] w\not=0 [/mm] eine Lösung von Ax=0. Dann sind auch alle [mm] \lambda [/mm] * w Lösungen von Ax=0, wobei [mm] \lambda \in [/mm] K. Das ist eine weitere Aussage, die aus dem zweiten Teil der Aufgabe folgt.
Ist [mm] K=\IR, [/mm] so ist [mm] {\lambda * w | \lambda \in \IR} [/mm] ja wohl offensichtlich eine Menge, die mehr als vier Elemente hat. Damit ist in diesem Fall die Behauptung im ersten Teil der Aufgabe widerlegt.
Ist [mm] K=\IF_{2}, [/mm] so habe ich eine Matrix A angegeben, für die der Lösungsraum von Ax=0 aus genau vier Elementen besteht. Der Lösungsraum von
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] = (0,0)
ist nämlich der angegebene
W = {(0,0,0); (1,0,0); (0,1,0); (1,1,0)}.
Bestehen noch Fragen?
2. Neuer Teil:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] = (0,0)
Wenn man den linken Teil ausmultipliziert, erhält man [mm] (x_3, x_3). [/mm] Folglich besteht die Lösungsmenge aus allen Vektoren [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] mit [mm] x_i\inK [/mm] und [mm] x_3=0.
[/mm]
Nun ist [mm] K=\IF_{2}={0;1}.
[/mm]
Wie sehen also alle Vektoren [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] mit [mm] x_i\in{0;1} [/mm] und [mm] x_3=0 [/mm] aus? Das sind die vier von mir angegebenen in W.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 So 12.11.2006 | | Autor: | studiinnot |
Wie kommst du darauf ??
Und zu K = [mm] \IR [/mm] Könntest das nochmal erläutern, ich verstehe die aufgabe leider immer noch nicht :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Mo 13.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
siehe neue Version
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 13.11.2006 | | Autor: | studiinnot |
Wie kommst du auf W= {(0,0,0);(1,0,0);(0,1,0);(1,1,0)} ???
A ist ja gewählt, das ist klar !!! Multiplizierst du mit b, oder wie ???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 So 12.11.2006 | | Autor: | Klausi |
danke für deine Hilfe aber irgendwie check ich das ganze noch nicht so
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| Aufgabe | | Ist K= [mm] \IR [/mm] so ist [mm] \lambda [/mm] * w | [mm] \lambda \in \IR [/mm] ja wohl offensichtlich eine Menge, die mehr als vier Elemente hat. Damit ist in diesem Fall die Behauptung im ersten Teil der Aufgabe widerlegt. |
Das kapiere ich noch nicht !! Kann mir das einer erläutern ???
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Aus [mm] \lambda_1*w [/mm] = [mm] \lambda_2*w [/mm] folgt 0 = [mm] (\lambda_2-\lambda_1) [/mm] *w und daraus w=0 (was ausgeschlossen wurde) oder 0 = [mm] \lambda_2-\lambda_1, [/mm] also [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_1.
[/mm]
Das bedeutet alle [mm] \lambda*w [/mm] sind für verschiedene [mm] \lambda [/mm] verschiedene Vektoren. Da [mm] \IR [/mm] unendlich ist, ist also auch [mm] {\lambda*w | \lambda\in\IR, w\not=0} [/mm] unendlich.
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