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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für t [mm] \not= [/mm] 6 eindeutig lösbar ist.
2 [mm] x_{1} [/mm] - 3 [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}= [/mm] -4
[mm] x_{1} [/mm] - 2 [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}= [/mm] -3
-3 [mm] x_{1} [/mm] + 9 [mm] x_{2} [/mm] + t [mm] x_{3}= [/mm] 15 |
hey,
also ich weiß nicht ganz wie ich da vorgehen soll. ich habe das gleichungssystem normal gelöst und hab das t einfach ignoriert (bzw. einfach mitgeschrieben) und am ende hatte ich für die dritte reihe
t [mm] x_{3} [/mm] - 12 [mm] x_{3} [/mm] = 0
stehen. wie soll ich weitermachen? t ausrechnen und das gleichungssystem erneut lösen?
danke im voraus
clafoutis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 13.01.2008 | | Autor: | Xafra |
> Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für t [mm]\not=[/mm] 6
> eindeutig lösbar ist.
> 2 [mm]x_{1}[/mm] - 3 [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}=[/mm] -4
> [mm]x_{1}[/mm] - 2 [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}=[/mm] -3
> -3 [mm]x_{1}[/mm] + 9 [mm]x_{2}[/mm] + t [mm]x_{3}=[/mm] 15
> hey,
> also ich weiß nicht ganz wie ich da vorgehen soll. ich
> habe das gleichungssystem normal gelöst und hab das t
> einfach ignoriert (bzw. einfach mitgeschrieben) und am ende
> hatte ich für die dritte reihe
> t [mm]x_{3}[/mm] - 12 [mm]x_{3}[/mm] = 0
> stehen. wie soll ich weitermachen? t ausrechnen und das
> gleichungssystem erneut lösen?
Nein
Ich hab das Gleichungssystem jetzt mal als Matrix dargestellt und ein Pivotisierung(Zeilenvertauschung) durchgeführt.
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -3 & 9 & t} [/mm] mit Ergebnisvektor: [mm] \pmat{ -3 \\ 4 \\ 15 }
[/mm]
Nun ziehe ich von der II. Zeile die I. 2 mal => II' = II-2I
Für die dritte Zeile gilt: III' = III+3I
dadurch ergibt sich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & t-3} [/mm] mit Ergebnisvektor: [mm] \pmat{ -3 \\ 10 \\ 6}
[/mm]
dann noch III''=III'-3*II'
Es ergibt sich sodann folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & t-6} [/mm] mit Ergebnisvektor: [mm] \pmat{ -3 \\ 10 \\ 24 } [/mm]
Also wie ich das Gleichungssystem gelöst habe mit der Matrix, ergibt sich für mich folgende 3. Zeile
[mm] (t-6)x_{3} [/mm] =24 <=> [mm] x_{3}=24/(t-6) [/mm]
Du siehst wenn t=6 gilt dann würdest du durch Null teilen....hier noch die anderen Lösungen
[mm] x_{2} [/mm] = 10 - 24/(t-6)
[mm] x_{1} [/mm] = -3 + 2[10 - 24/24(t-6)] + 24/(t-6)
Dass Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, da es für jedes t (außer 6) jeweils nur einen entsprechenden Lösungskoeffizienten pro Variable liefert.
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ok ist also die generelle strategie einer der x-werte mit t auszudrücken und daraus die lösung zu bilden?
auserdem merk ich grad dass du die aufgabe falsch abgeschrieben hast, bevor du gerechnet hast :P
ist nicht weiter schlimm. mir ging es nur um den eigentliche strategie^^
danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 13.01.2008 | | Autor: | Xafra |
Ich hab das Gleichungssystem jetzt mal als Matrix dargestellt und eine Pivotisierung (Zeilenvertauschung) durchgeführt.
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -3 & 9 & t} [/mm] $ mit Ergebnisvektor: $ [mm] \pmat{ -3 \\ 4 \\ 15 } [/mm] $
Nun ziehe ich von der II. Zeile die I. 2 mal => II' = II-2I
Für die dritte Zeile gilt: III' = III+3I
dadurch ergibt sich folgende Matrix:
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & t-3} [/mm] $ mit Ergebnisvektor: $ [mm] \pmat{ -3 \\ 2 \\ 6} [/mm] $
dann noch III''=III'-3*II'
Es ergibt sich sodann folgende Matrix:
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & t-6} [/mm] $ mit Ergebnisvektor: $ [mm] \pmat{ -3 \\ 2 \\ 0 } [/mm] $
Also wie ich das Gleichungssystem gelöst habe mit der Matrix, ergibt sich für mich folgende 3. Zeile
$ [mm] (t-6)x_{3} [/mm] $ =0 <=> $ [mm] x_{3}=0/(t-6) [/mm] $
=> [mm] x_{3}=0
[/mm]
Du siehst wenn t=6 gilt dann würdest du durch Null teilen....hier noch die anderen Lösungen
$ [mm] x_{2} [/mm] $ = 2
$ [mm] x_{1} [/mm] $ = -3 + 2*2 = 1
Dass Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, da es nur eine Lösung gibt!
Nicht wie vorher irrtümlich behauptet, dass man für jedes t nur immer den entsprechenden Wert einsetzen müsste.
Dann wäre das Gleichungssystem zwar lösbar, aber nicht eindeutig, weil es mehrere Lösungen gibt, nämlich unendlich viele!
Sorry die gestrige Geburtstagsfeier hat mich wohl stark gezeichnet! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 13.01.2008 | | Autor: | Beliar |
Du solltest die ersten beiden Gleichungen so berechnen, dass du für die Variablen [mm] x_{1}und x_{2}Zahlenwerte [/mm] bekommst. Diese Werte setzt du in die dritte Gleichung und lößt nach t auf
Gruß
Beliar
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