Gleichungssystem < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 So 23.03.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Gegeben ist das LGS:
-a1 + 2a2 = 0
-2a1 - a2 - a3 = 0
4a1 - 3a2 + a3 = 0
Ermitteln Sie a1, a2 und a3 |
Hallo zusammen,
ich habe versucht mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen:
-a1 + 2a2 = 0 [mm] \gdw [/mm] a1 = 2a2
-2a1 - a2 - a3 = 0 [mm] \gdw [/mm] a3 = -2a1 - a2 = -5a2
a1 und a3 eingesetzt in die dritte Gleichung:
4a1 - 3a2 + a3 = 0 [mm] \gdw [/mm] 4*2a2 - 3a2 -5a2 = 0 [mm] \gdw [/mm] 8a2 - 3a2 -5a2 = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = 0
Bringt mich scheinbar nicht weiter. Eigentlich soll herauskommen:
a1=2
a2=1
a3=-5
Wo liegt der Hase begraben (zu Ostern... )
Viele Grüße, Andreas
|
|
| |
|
Hallo Andreas, ich habe Deine Aufgabe mal durchgerechnet:
[mm] -a_{1}+2a_{2}
[/mm]
[mm] -2a_{1}-a_{2}-a_{3}
[/mm]
[mm] 4a_{1}-3a_{2}+a_{3}
[/mm]
Nun würde ich folgendermaßen vorgehen:
Ich würde die 2.Zeile mit der dritten Zeile addieren, damit in der zweiten Zeile dann das [mm] a_{3} [/mm] wegbekomme.
Dann steht da:
[mm] -a_{1}+2a_{2}
[/mm]
[mm] 2a_{1}-4a_{2}
[/mm]
[mm] 4a_{1}-3a_{2}+a_{3}
[/mm]
Wenn du nun versuchst die ersten beiden Zeilen miteinander zu kombinieren, um entweder [mm] a_{1} [/mm] wegzubekommen oder [mm] a_{2}, [/mm] dann wirst du sehen, dass 0=0 herauskommt. wenn du die erste Zeile also zum Beispiel mit 2 multiplizierst und dann mit der 2. Zeile addierst.
Also muss ein Parameter hinein. Nennen wir ihn k.
Sagen wir [mm] a_{1} [/mm] ist k. Nun löst du [mm] a_{2} [/mm] und [mm] a_{3} [/mm] in abhängigkeit von k auf. Dann hast du:
[mm] a_{1}=k
[/mm]
[mm] a_{2}= [/mm] k:2
[mm] a_{3}= [/mm] -2,5k
Nagut. Das wars.
> Bringt mich scheinbar nicht weiter. Eigentlich soll
> herauskommen:
>
> a1=2
> a2=1
> a3=-5
Das Ergebnis ist dann ein Ergebnis von unendlich vielen. Hier wurde für k einfach 2 eingesetzt. Und tatatataaa, es kommt das von Dir angegebene Ergebnis heraus.
Frohe Ostern! Bye
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 23.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo gebrochenrationaleFunktion (sperriger nick  )
Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort!
> Wenn du nun versuchst die ersten beiden Zeilen miteinander
> zu kombinieren, um entweder [mm]a_{1}[/mm] wegzubekommen oder [mm]a_{2},[/mm]
> dann wirst du sehen, dass 0=0 herauskommt. wenn du die
> erste Zeile also zum Beispiel mit 2 multiplizierst und dann
> mit der 2. Zeile addierst.
>
> Das Ergebnis ist dann ein Ergebnis von unendlich vielen.
> Hier wurde für k einfach 2 eingesetzt. Und tatatataaa, es
> kommt das von Dir angegebene Ergebnis heraus.
>
Heißt das, ich habe hier eigentlich keine drei richtigen unabhängigen Gleichungen, sondern eigentlich nur 2 unabhängige? Und deshalb kann ich eine Variable (eigentlich egal welche) frei wählen?
Auch Dir frohe Ostern!
Viele Grüße, Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 So 23.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> >
>
> Heißt das, ich habe hier eigentlich keine drei richtigen
> unabhängigen Gleichungen, sondern eigentlich nur 2
> unabhängige?
Genau das heißt es!
> Und deshalb kann ich eine Variable (eigentlich
> egal welche) frei wählen?
Richtig. Es ist eigentlich völlig egal, ob du nun x y oder z frei wählst. Meist ergibt es sich aber durch die Rechnung, welche Variable man frei wählt. In diesem Fall kann man z.B. z frei wählen, und dann die restlichen Gleichungen in Abhängigkeit von z schreiben, so dass du unendlich viele Lösungen hast. Könntest du jetzt zB zwei Variablen frei wählen, so hättest du doppelt unendlich viele Lösungen *gg*
>
> Auch Dir frohe Ostern!
>
> Viele Grüße, Andreas
LG
Kroni
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 23.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Kroni, Danke für Deine Antwort!
> Richtig. Es ist eigentlich völlig egal, ob du nun x y oder
> z frei wählst. Meist ergibt es sich aber durch die
> Rechnung, welche Variable man frei wählt. In diesem Fall
> kann man z.B. z frei wählen, und dann die restlichen
> Gleichungen in Abhängigkeit von z schreiben, so dass du
> unendlich viele Lösungen hast.
Meinst Du mit z hier [mm] a_3?
[/mm]
Weil gebrochenrationaleFunktion hat ja [mm] a_1 [/mm] = k frei gewählt.
Wenn ich sozusagen die "Falsche" wähle, heißt dass, dass ich die restlichen Gleichungen nicht so in Abhängigkeit der frei gwählten schreiben kann, dass man unendlich viele Lösungen hat?
Viele Grüße, Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 23.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst eine beliebige frei wählen in diesem Fall.
es gibt auch Fälle, wo du nur unter zweien die freie Auswahl hast:
x+y=0
3x+3y=0
x+y+z=1
hier folgt direkt z=1 x=-y ob du jetz x oder y frei wählst ist egal, z kannst du nicht frei wählen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 So 23.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hi leduart,
alles klar, mit Deinem Beispiel hast Du es gut erklärt.
Vielen Dank hierfür und Gute Nacht!
Viele Grüße, Andreas
|
|
|
|
