Gleichungssystem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gib die Punkte des [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] an, in denen das Gleichungssystem
[mm] x^2-y^2=0
[/mm]
[mm] y^2-z^2=0
[/mm]
nach (x,y) auflösbar ist. Zeige, dass das System bei (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar ist und bestimme die Ableitung der implizit definierten Abbildung. |
Hallo,
ich bin mir leider garnicht so sicher was ich alles machen muss.
Habe einfach mal gebildet:
[mm] 2y^2-x^2=z^2.
[/mm]
Muss man das nocht irgendwie anders auflösen?
Was ist dann meine implizite Abbildung? Sowas wie F(x,z(x,y))? Dafür brauche ich ja mein Gleichungssystem.
Und was heißt [mm] \textbf{lokal} [/mm] nach (x,y) auflösbar?
Mein Ansatz ist leider sehr weit entfernt von der Lösung der Aufgabe.
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gib die Punkte des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] an, in denen das
> Gleichungssystem
> [mm]x^2-y^2=0[/mm]
> [mm]y^2-z^2=0[/mm]
Hallo,
aus diesm Gleichugssystem folgt
[mm] x^2=y^2 [/mm] und [mm] y^2=z^2, [/mm] also insgesamt |x|=|y|=|z|.
Losungen sind also alle Punkte (a|a|a), (a|-a|a), (a|a|-a), (a|-a|-a).
Gruß Abakus
> nach (x,y) auflösbar ist. Zeige, dass das System bei
> (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar ist und bestimme die
> Ableitung der implizit definierten Abbildung.
> Hallo,
>
> ich bin mir leider garnicht so sicher was ich alles machen
> muss.
> Habe einfach mal gebildet:
> [mm]2y^2-x^2=z^2.[/mm]
> Muss man das nocht irgendwie anders auflösen?
> Was ist dann meine implizite Abbildung? Sowas wie
> F(x,z(x,y))? Dafür brauche ich ja mein Gleichungssystem.
> Und was heißt [mm]\textbf{lokal}[/mm] nach (x,y) auflösbar?
> Mein Ansatz ist leider sehr weit entfernt von der Lösung
> der Aufgabe.
>
> Gruß Sleeper
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> > Gib die Punkte des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] an, in denen das
> > Gleichungssystem
> > [mm]x^2-y^2=0[/mm]
> > [mm]y^2-z^2=0[/mm]
> Hallo,
> aus diesm Gleichugssystem folgt
> [mm]x^2=y^2[/mm] und [mm]y^2=z^2,[/mm] also insgesamt |x|=|y|=|z|.
> Losungen sind also alle Punkte (a|a|a), (a|-a|a),
> (a|a|-a), (a|-a|-a).
> Gruß Abakus
>
Ja das ist natürlich klar. Aber ich soll das ja über eine implizite Abbildung machen, die ich bestimmen muss. Sonst kann ich sie logischerweise auch nicht ableiten.
Wie komme ich also zu dieser Abbildung?
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Hallo T_Sleeper,
> > > Gib die Punkte des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] an, in denen das
> > > Gleichungssystem
> > > [mm]x^2-y^2=0[/mm]
> > > [mm]y^2-z^2=0[/mm]
> > Hallo,
> > aus diesm Gleichugssystem folgt
> > [mm]x^2=y^2[/mm] und [mm]y^2=z^2,[/mm] also insgesamt |x|=|y|=|z|.
> > Losungen sind also alle Punkte (a|a|a), (a|-a|a),
> > (a|a|-a), (a|-a|-a).
> > Gruß Abakus
> >
> Ja das ist natürlich klar. Aber ich soll das ja über eine
> implizite Abbildung machen, die ich bestimmen muss. Sonst
> kann ich sie logischerweise auch nicht ableiten.
> Wie komme ich also zu dieser Abbildung?
Siehe dazu diesen Artikel von mir.
Gruß
MathePower
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Hallo, wir sind in Ana II bei den impliziet definierten Folgen angekommen. Die Definition habe ich soweit verstanden, aber der folgenden Aufgabe bereitet es mir Schwierigkeiten, daß es sich um ein Gleichungssystem handelt:
In welchen Punkten des [mm] R^3 [/mm] ist das Gleichungssystem
[mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = 0
[mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] = 0
nach (x,y) auflösbar? Zeige insbesondere, dass das Gleichungssystem bei (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar ist und bestimme die Ableitung der implizit definierten Abbildung.
Also ich habe jetzt erstmal [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] gesetzt und dann einmal nach x und einmal nach y aufgelöst:
y = [mm] \pm \wurzel {\bruch{(x^2+z^2)}{2}}
[/mm]
und
x = [mm] \pm \wurzel{2y^2-z^2}
[/mm]
erhalten, ist das schon ein Lösungsansatz?
viele Grüße, Mathamatak!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mathamatak,
> Hallo, wir sind in Ana II bei den impliziet definierten
> Folgen angekommen. Die Definition habe ich soweit
Wohl eher "implizite definierte Funktionen".
> verstanden, aber der folgenden Aufgabe bereitet es mir
> Schwierigkeiten, daß es sich um ein Gleichungssystem
> handelt:
>
> In welchen Punkten des [mm]R^3[/mm] ist das Gleichungssystem
>
> [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] = 0
> [mm]y^2[/mm] - [mm]z^2[/mm] = 0
Nun, hier handelt es sich um ein nichtlineares Gleichungssystem,
da x,y,z in zweiter Potenz vorkommen.
>
> nach (x,y) auflösbar? Zeige insbesondere, dass das
> Gleichungssystem bei (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar ist
> und bestimme die Ableitung der implizit definierten
> Abbildung.
>
>
> Also ich habe jetzt erstmal [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] = [mm]y^2[/mm] - [mm]z^2[/mm] gesetzt
> und dann einmal nach x und einmal nach y aufgelöst:
>
> y = [mm]\pm \wurzel {\bruch{(x^2+z^2)}{2}}[/mm]
> und
> x = [mm]\pm \wurzel{2y^2-z^2}[/mm]
>
> erhalten, ist das schon ein Lösungsansatz?
Hier hast Du dann, wenn Du in der einen Gleichung x
und in der anderen Gleichung y eliminierst, [mm]x\left(z\right), \ y\left(z\right)[/mm],
Der Ansatz ist folgender:
[mm]F\left(x\left(z\right),y\left(z\right),z\right)=0[/mm]
,wobei [mm]F=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}[/mm] ist.
Dies differenzierst Du jetzt nach z.
Dann findest Du hoffentlich eine Bedingung, für welche Punkte
diese Gleichung lokal auflösbar ist.
>
> viele Grüße, Mathamatak!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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> Hier hast Du dann, wenn Du in der einen Gleichung x
> und in der anderen Gleichung y eliminierst,
> [mm]x\left(z\right), \ y\left(z\right)[/mm],
Wie eliminieren? y(z) ist doch nicht etwa [mm] y=\pm\sqrt{\frac{x^2+z^2}{2}}?
[/mm]
Andererseits habe ich doch einfach |x|=|y|=|z|.
>
>
> Der Ansatz ist folgender:
>
> [mm]F\left(x\left(z\right),y\left(z\right),z\right)=0[/mm]
>
> ,wobei [mm]F=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}[/mm] ist.
Also [mm] F(x,y,z)=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}.
[/mm]
Aber wie sieht dann F(x(z),y(z),z) aus?
Ich hatte bis jetzt einfach mal die Jakobi Matrix von F(x,y,z) gebildet, was mich überhaupt nicht weitergebracht hat.
Irgendwie geht bei mir einiges Durcheinander.
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Hallo T_Sleeper,
> > Hier hast Du dann, wenn Du in der einen Gleichung x
> > und in der anderen Gleichung y eliminierst,
> > [mm]x\left(z\right), \ y\left(z\right)[/mm],
>
> Wie eliminieren? y(z) ist doch nicht etwa
> [mm]y=\pm\sqrt{\frac{x^2+z^2}{2}}?[/mm]
Hier setzt Du dann [mm]x\left(y.z[/mm] ein,
und erhältst so [mm]y\left(z\right)[/mm].
> Andererseits habe ich doch einfach |x|=|y|=|z|.
>
>
>
> >
> >
> > Der Ansatz ist folgender:
> >
> > [mm]F\left(x\left(z\right),y\left(z\right),z\right)=0[/mm]
> >
> > ,wobei [mm]F=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}[/mm] ist.
>
> Also [mm]F(x,y,z)=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}.[/mm]
> Aber wie
> sieht dann F(x(z),y(z),z) aus?
>
> Ich hatte bis jetzt einfach mal die Jakobi Matrix von
> F(x,y,z) gebildet, was mich überhaupt nicht weitergebracht
> hat.
Die Jakobi Matrix zu bilden ist schon der richtige Weg.
Um es Dir einfacher zu machen, betrachte
[mm]\left(x\left(z\right)\right)^{2}-\left(y\left(z\right)\right)^{2}=0[/mm]
[mm]\left(y\left(z\right)\right)^{2}-z^{2}=0[/mm]
Dies differenzierst Du jetzt nach z.
>
> Irgendwie geht bei mir einiges Durcheinander.
>
>
Gruß
MathePower
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> > Wie eliminieren? y(z) ist doch nicht etwa
> > [mm]y=\pm\sqrt{\frac{x^2+z^2}{2}}?[/mm]
Wie? Ist dann [mm] (y(z))^2 [/mm] nicht einfach [mm] =z^2? [/mm] Dann könnte ich allerdings nicht differenzieren.
Das will nicht in meinen Kopf.
>
> > Andererseits habe ich doch einfach |x|=|y|=|z|.
> >
> >
> >
> > >
> > >
> > > Der Ansatz ist folgender:
> > >
> > > [mm]F\left(x\left(z\right),y\left(z\right),z\right)=0[/mm]
> > >
> > > ,wobei [mm]F=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}[/mm] ist.
> >
> > Also [mm]F(x,y,z)=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}.[/mm]
> > Aber
> wie
> > sieht dann F(x(z),y(z),z) aus?
> >
> > Ich hatte bis jetzt einfach mal die Jakobi Matrix von
> > F(x,y,z) gebildet, was mich überhaupt nicht weitergebracht
> > hat.
>
>
> Die Jakobi Matrix zu bilden ist schon der richtige Weg.
>
> Um es Dir einfacher zu machen, betrachte
>
> [mm]\left(x\left(z\right)\right)^{2}-\left(y\left(z\right)\right)^{2}=0[/mm]
>
> [mm]\left(y\left(z\right)\right)^{2}-z^{2}=0[/mm]
>
> Dies differenzierst Du jetzt nach z.
Wenn ich das irgendwann gemacht habe, kann ich eine Aussage darüber treffen, für welche (x,y) das GLS lösbar ist, oder? Und auch, dass es bei (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar ist?
Aber dann habe ich doch immer noch nicht die Ableitung der implizit def. Abbildung. Was ist hier überhaupt genau diese Abb.?
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Hallo T_Sleeper,
> > > Wie eliminieren? y(z) ist doch nicht etwa
> > > [mm]y=\pm\sqrt{\frac{x^2+z^2}{2}}?[/mm]
>
> Wie? Ist dann [mm](y(z))^2[/mm] nicht einfach [mm]=z^2?[/mm] Dann könnte ich
> allerdings nicht differenzieren.
Differenzieren ist hier auch nicht nötig.
Aus der Gleichung
[mm]x^{2}-y^{2}=0[/mm] erhälst Du [mm]x^{2}=y^{2}[/mm]
Dies setzt Du dann ein:
[mm]y=\pm\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}}?[/mm]
quadrieren und auflösen nach y liefert dann [mm]y\left(z\right)[/mm]
> Das will nicht in meinen Kopf.
> >
> > > Andererseits habe ich doch einfach |x|=|y|=|z|.
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Der Ansatz ist folgender:
> > > >
> > > > [mm]F\left(x\left(z\right),y\left(z\right),z\right)=0[/mm]
> > > >
> > > > ,wobei [mm]F=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}[/mm] ist.
> > >
> > > Also [mm]F(x,y,z)=\pmat{x^{2}-y^{2} \\ y^{2}-z^{2}}.[/mm]
> > >
> Aber
> > wie
> > > sieht dann F(x(z),y(z),z) aus?
> > >
> > > Ich hatte bis jetzt einfach mal die Jakobi Matrix von
> > > F(x,y,z) gebildet, was mich überhaupt nicht weitergebracht
> > > hat.
> >
> >
> > Die Jakobi Matrix zu bilden ist schon der richtige Weg.
> >
> > Um es Dir einfacher zu machen, betrachte
> >
> >
> [mm]\left(x\left(z\right)\right)^{2}-\left(y\left(z\right)\right)^{2}=0[/mm]
> >
> > [mm]\left(y\left(z\right)\right)^{2}-z^{2}=0[/mm]
> >
> > Dies differenzierst Du jetzt nach z.
>
> Wenn ich das irgendwann gemacht habe, kann ich eine Aussage
> darüber treffen, für welche (x,y) das GLS lösbar ist, oder?
> Und auch, dass es bei (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar
> ist?
Ja, das kannst Du dann.
>
> Aber dann habe ich doch immer noch nicht die Ableitung der
> implizit def. Abbildung. Was ist hier überhaupt genau diese
> Abb.?
Die Ableitung der implizit definierten Funktion, bekommst Du,
wenn Du
[mm]\left(x\left(z\right)\right)^{2}-\left(y\left(z\right)\right)^{2}=0[/mm]
[mm]\left(y\left(z\right)\right)^{2}-z^{2}=0[/mm]
nach z differenzierst.
Gruß
MathePower
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> Aus der Gleichung
>
> [mm]x^{2}-y^{2}=0[/mm] erhälst Du [mm]x^{2}=y^{2}[/mm]
>
> Dies setzt Du dann ein:
>
> [mm]y=\pm\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}}?[/mm]
>
> quadrieren und auflösen nach y liefert dann
> [mm]y\left(z\right)[/mm]
>
das liefert doch dann wieder [mm] y^2=z^2.
[/mm]
[mm] y^2=\frac{y^2+z^2}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y^2=z^2
[/mm]
Dann bringt mich das nicht weiter.
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Hallo T_sleeper,
> > Aus der Gleichung
> >
> > [mm]x^{2}-y^{2}=0[/mm] erhälst Du [mm]x^{2}=y^{2}[/mm]
> >
> > Dies setzt Du dann ein:
> >
> > [mm]y=\pm\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}}?[/mm]
> >
> > quadrieren und auflösen nach y liefert dann
> > [mm]y\left(z\right)[/mm]
> >
> das liefert doch dann wieder [mm]y^2=z^2.[/mm]
> [mm]y^2=\frac{y^2+z^2}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow y^2=z^2[/mm]
>
> Dann bringt mich das nicht weiter.
Um die Ableitung der implizit definierten Funktion bilden zu können,
ist die Kenntnis der expliziten Darstellung dieser Funktion nicht notwendig.
Siehe auch diesen Artikel.
Gruß
MathePower
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Ich bin ehrlich gesagt mit dem Verständnis der Aufgabe noch nicht weiter als zuvor. Wenn ich Gleichungen habe 0=0 kann ich nichts nach z ableiten.
Deswegen versuche ich es mal auf eine andere Weise.
So wie ich das sehe, muss ich doch bekommen F(x,y)=0.
ich hab 2 gleichungen. Daraus kann ich zwei abbildungen bestimmen:
[mm] F_1(x,y)=x^2+y^2=0 [/mm] und [mm] F_2(x,z)=x^2+z^2=0
[/mm]
Jetzt ist das Problem, die eine hängt von (x,y), die andere von (x,z) ab.
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Hallo T_Sleeper,
> Ich bin ehrlich gesagt mit dem Verständnis der Aufgabe noch
> nicht weiter als zuvor. Wenn ich Gleichungen habe 0=0 kann
> ich nichts nach z ableiten.
>
> Deswegen versuche ich es mal auf eine andere Weise.
> So wie ich das sehe, muss ich doch bekommen F(x,y)=0.
Hier ist [mm]F\left(x,y,z\right)=0[/mm] doch gegeben.
>
> ich hab 2 gleichungen. Daraus kann ich zwei abbildungen
> bestimmen:
> [mm]F_1(x,y)=x^2+y^2=0[/mm] und [mm]F_2(x,z)=x^2+z^2=0[/mm]
> Jetzt ist das Problem, die eine hängt von (x,y), die
> andere von (x,z) ab.
[mm]F_1(x,y)=x^2-y^2=0[/mm]
[mm]F_2(x,z)=x^2-z^2=0[/mm]
Um die explizite Darstellung der Funktionen [mm]x\left(z\right), y\left(z\right)[/mm] zu bekommen, kannst Du hier nach x und y auflösen.
Die Gleichungen lassen sich auch so schreiben:
[mm]F_1(x,y)=x^2-y^2+0*z^{2}=0[/mm]
[mm]F_2(x,z)=x^2+0*y^{2}-z^{2}=0[/mm]
So, und das sind jetzt 2 Gleichungen in 3 Variablen.
Das heißt eine Variable ist frei wählbar (hier: z).
Gruß
MathePower
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> Die Gleichungen lassen sich auch so schreiben:
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> [mm]F_1(x,y)=x^2-y^2+0*z^{2}=0[/mm]
>
> [mm]F_2(x,z)=x^2+0*y^{2}-z^{2}=0[/mm]
>
>
> So, und das sind jetzt 2 Gleichungen in 3 Variablen.
>
> Das heißt eine Variable ist frei wählbar (hier: z).
>
Ok. Aber dafür setze ich jetzt nicht irgendeine zahl ein oder so?
Was ich mache ist, ich bilde [mm] f(x,y,z)=x^2-2y^2+z^2=0.
[/mm]
Jetzt muss ich doch insbesondere zeigen, dass das bei (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar ist.
Dafür zeige ich doch dann: [mm] \frac{\partial f}{\partial z}(1,1,1)\neq [/mm] 0. Daraus folgere ich es gibt eine eindeutig bestimmte stetig diffbare abbildung g(1,1)=1. Also gilt die Aussage für (1,1,1) oder?
Und dann berechne ich noch [mm] g'(x,y)=-\frac{D_1f(x,y,z)}{D_2f(x,y,z)} [/mm] und habe die Ableitung.
Geht das so?
> Gruß
> MathePower
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Hallo T_sleeper,
> > Die Gleichungen lassen sich auch so schreiben:
> >
> > [mm]F_1(x,y)=x^2-y^2+0*z^{2}=0[/mm]
> >
> > [mm]F_2(x,z)=x^2+0*y^{2}-z^{2}=0[/mm]
> >
> >
> > So, und das sind jetzt 2 Gleichungen in 3 Variablen.
> >
> > Das heißt eine Variable ist frei wählbar (hier: z).
> >
>
> Ok. Aber dafür setze ich jetzt nicht irgendeine zahl ein
> oder so?
Das z bleibt als Variable stehen.
>
> Was ich mache ist, ich bilde [mm]f(x,y,z)=x^2-2y^2+z^2=0.[/mm]
> Jetzt muss ich doch insbesondere zeigen, dass das bei
> (1,1,1) lokal nach (x,y) auflösbar ist.
> Dafür zeige ich doch dann: [mm]\frac{\partial f}{\partial z}(1,1,1)\neq[/mm]
> 0. Daraus folgere ich es gibt eine eindeutig bestimmte
> stetig diffbare abbildung g(1,1)=1. Also gilt die Aussage
> für (1,1,1) oder?
>
> Und dann berechne ich noch
> [mm]g'(x,y)=-\frac{D_1f(x,y,z)}{D_2f(x,y,z)}[/mm] und habe die
> Ableitung.
>
> Geht das so?
Betrachte hier
[mm]F_1(x\left(z\right),y\left(z\right),z)=x\left(z\right)^2-y\left(z\right)^2+0*z^{2}=0[/mm]
[mm]F_2(x\left(z\right),\left(z\right),z)=x\left(z\right)^2+0*y\left(z¸\right)^{2}-z^{2}=0[/mm]
Differenziere dies nun nach der Variablen z.
Dann kommst Du wiederum auf ein Gleichungssystem.
Daraus erhältst Du ein Kriterium, wann dieses lösbar ist.
Und somit auch gleichzeitig ein Kriterium, wann das nach (x,y) auflösbar ist.
Gruß
MathePower
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Meinst du so:
[mm] \frac{\partial F_1}{\partial z}(x(z),y(z),z)=2x(z)-2y(z)
[/mm]
[mm] \frac{\partial F_2}{\partial z}(x(z),y(z),z)=2y(z)-2z [/mm] ?
Dann hätte ich wieder nur y(z)=z.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Do 18.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie leitest du f(x(t)) nach t ab? Hast du schon mal Kettenregel gehoert?
Gruss leduart
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Es ist doch [mm] f(x(t))=f'(x(t))\cdot [/mm] x'(t).
Damit müsste dann gelten:
[mm] f_{1z}(x(z),y(z),z)=2\cdot x(z)\cdot x'(z)-2y(z)\cdot [/mm] y'(z)
und für
[mm] f_{2z}=2y(z)\cdot [/mm] y'(z)-2z
oder?
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Hall T_sleeper,
> Es ist doch [mm]f(x(t))=f'(x(t))\cdot[/mm] x'(t).
> Damit müsste dann gelten:
> [mm]f_{1z}(x(z),y(z),z)=2\cdot x(z)\cdot x'(z)-2y(z)\cdot[/mm]
> y'(z)
> und für
> [mm]f_{2z}=2y(z)\cdot[/mm] y'(z)-2z
> oder?
Genau, das gilt auch.
Gruß
MathePower
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> Hall T_sleeper,
>
> > Es ist doch [mm]f(x(t))=f'(x(t))\cdot[/mm] x'(t).
> > Damit müsste dann gelten:
> > [mm]f_{1z}(x(z),y(z),z)=2\cdot x(z)\cdot x'(z)-2y(z)\cdot[/mm]
> > y'(z)
> > und für
> > [mm]f_{2z}=2y(z)\cdot[/mm] y'(z)-2z
> > oder?
>
>
> Genau, das gilt auch.
>
>
> Gruß
> MathePower
Puh, dann bin ich ja schonmal etwas beruhigter.
Allerdings weiß ich noch nicht so recht, was das mir über die Auflösbarkeit nach (x,y) sagt bzw. wie ich zeige, dass es bei (1,1,1) auflösbar ist.
Welches ist nun die implizit def. Abbildung? Nach Aufgabe soll ich ja die Ableitung dieser Abb. bestimmen. Aber es gibt doch 2 implizite, y(z),x(z) oder?
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Hallo T_sleeper,
> > Hall T_sleeper,
> >
> > > Es ist doch [mm]f(x(t))=f'(x(t))\cdot[/mm] x'(t).
> > > Damit müsste dann gelten:
> > > [mm]f_{1z}(x(z),y(z),z)=2\cdot x(z)\cdot x'(z)-2y(z)\cdot[/mm]
> > > y'(z)
> > > und für
> > > [mm]f_{2z}=2y(z)\cdot[/mm] y'(z)-2z
> > > oder?
> >
> >
> > Genau, das gilt auch.
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Puh, dann bin ich ja schonmal etwas beruhigter.
> Allerdings weiß ich noch nicht so recht, was das mir über
> die Auflösbarkeit nach (x,y) sagt bzw. wie ich zeige, dass
> es bei (1,1,1) auflösbar ist.
Nun, die Frage ist jetzt, wann Du die Ableitungen
der implizit definierten Funktionen bilden kannst.
Demnach ist die Frage, wann dieses Gleichungssystem
eindeutig nach [mm]x'[/mm] und [mm]y'[/mm] auflösbar ist:
[mm]f_{1z}=2*x*x'-2*y'*y=0[/mm]
[mm]f_{2z}=2*y*y'-2*z=0[/mm]
>
> Welches ist nun die implizit def. Abbildung? Nach Aufgabe
> soll ich ja die Ableitung dieser Abb. bestimmen. Aber es
> gibt doch 2 implizite, y(z),x(z) oder?
In der Aufgabe, war die Frage, wann dieses Gleichungssystem nach (x,y) auflösbar ist. Somit gibt es auch 2 implizit definierte Funktionen.
Gruß
MathePower
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> In der Aufgabe, war die Frage, wann dieses Gleichungssystem
> nach (x,y) auflösbar ist. Somit gibt es auch 2 implizit
> definierte Funktionen.
Das wunderte mich nur, weil in der Aufgabe eben steht: "bestimme die Ableitung [mm] \underline{der} [/mm] imp. def. Abbildung", also singular.
Ich kann das System nach x', y' auflösen und komme zu:
[mm] y'=-\frac{z}{y}, x'=-\frac{z}{x}. [/mm]
Damit müssen x,y schonmal [mm] \neq [/mm] 0 sein. Ist das alles, was man darüber sagen soll, oder sieht man noch mehr?
Ich habe damit ja auch die Ableitungen.
Nur das mit der lokalen Auflösbarkeit bei (1,1,1) habe ich noch nicht.
Simples einsetzen soll man da sicherlich nicht machen, denn dafür gibt es eine große Anzahl an Punkten.
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Hallo T_sleeper,
> > In der Aufgabe, war die Frage, wann dieses Gleichungssystem
> > nach (x,y) auflösbar ist. Somit gibt es auch 2 implizit
> > definierte Funktionen.
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> Das wunderte mich nur, weil in der Aufgabe eben steht:
> "bestimme die Ableitung [mm]\underline{der}[/mm] imp. def.
> Abbildung", also singular.
>
>
> Ich kann das System nach x', y' auflösen und komme zu:
> [mm]y'=-\frac{z}{y}, x'=-\frac{z}{x}.[/mm]
> Damit müssen x,y schonmal [mm]\neq[/mm] 0 sein. Ist das alles, was
> man darüber sagen soll, oder sieht man noch mehr?
Hier kann man noch sagen, für welche z das gilt.
> Ich habe damit ja auch die Ableitungen.
>
> Nur das mit der lokalen Auflösbarkeit bei (1,1,1) habe ich
> noch nicht.
> Simples einsetzen soll man da sicherlich nicht machen,
> denn dafür gibt es eine große Anzahl an Punkten.
Für die lokale Auflösbarkeit müssen gelten:
[mm]F\left(1,1,1\right)=0[/mm]
,wobei [mm]F\left(x,y,z\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y,z\right) \\ f_{2}\left(x,y,z\right)}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Die Matrix
[mm]\pmat{\bruch{\partial f_{1}}{\partial x} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial x} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y}}\left(1,1,1\right)[/mm]
ist invertierbar.
Gruß
MathePower
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Nochmal kurz dazu:
Damit ich den Satz über implizite Funktionen anwenden kann, muss ich doch auch erst noch zeigen:
DF(x,y,z) ist invertierbar, oder ist das egal, denn es muss gelten F(x(z),y(z),z)=0 und eben invertierbarkeit? Ich meine für den Fall (1,1,1) zeige ich das ja sowieso.
Dann nochmal zu meinen Sachen. Mein Ergebnis war falsch:
Es ist [mm] y'(z)=\frac{z}{y(z)} [/mm] und [mm] x'(z)=\frac{z}{x(z)}.
[/mm]
Muss nicht x'(z)=1 sein?
Dann wären meine Punkte aber alle diejenigen, für die gilt: x=y=z. Das kann doch nicht sein, weil doch gelten müsste |x|=|y|=|z| oder?
Können wir eigentlich auf die Ableitungen auch kommen, wenn wir formal anwenden: Sei g(x) impl. def. Abb. Dann gilt:
[mm] g'(x)=-\frac{D_1 F(x,g(x)}{D_2F(x,g(x))}? [/mm] (wobei hier [mm] D_1 [/mm] Ableitung nach 1ster variablen und [mm] D_2 [/mm] nach 2ter?
Mir gelingt es gerade nicht, das formal zu übertragen (Also wie würde D_1F und D_2F aussehen)?
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Hallo T_sleeper,
> Nochmal kurz dazu:
> Damit ich den Satz über implizite Funktionen anwenden
> kann, muss ich doch auch erst noch zeigen:
> DF(x,y,z) ist invertierbar, oder ist das egal, denn es
> muss gelten F(x(z),y(z),z)=0 und eben invertierbarkeit? Ich
> meine für den Fall (1,1,1) zeige ich das ja sowieso.
Das musst Du nur für diesen Punkt zeigen.
>
> Dann nochmal zu meinen Sachen. Mein Ergebnis war falsch:
> Es ist [mm]y'(z)=\frac{z}{y(z)}[/mm] und [mm]x'(z)=\frac{z}{x(z)}.[/mm]
> Muss nicht x'(z)=1 sein?
Genau.
>
> Dann wären meine Punkte aber alle diejenigen, für die gilt:
> x=y=z. Das kann doch nicht sein, weil doch gelten müsste
> |x|=|y|=|z| oder?
Aus der Kenntnis der Ableitungen der implizit definierten Funktionen
in einem Punkt, kann man nicht auf die Funktionen schliessen.
>
> Können wir eigentlich auf die Ableitungen auch kommen, wenn
> wir formal anwenden: Sei g(x) impl. def. Abb. Dann gilt:
> [mm]g'(x)=-\frac{D_1 F(x,g(x)}{D_2F(x,g(x))}?[/mm] (wobei hier [mm]D_1[/mm]
> Ableitung nach 1ster variablen und [mm]D_2[/mm] nach 2ter?
Dies gilt aber nur, wenn die zwei Veränderlichen Skalare sind.
Ja, auf diese Ableitung kommt man, wenn auf
[mm]F\left( \ x, \ g\left(x\right) \ \right)=0[/mm]
die ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerte Kettenregel anwendet.
>
> Mir gelingt es gerade nicht, das formal zu übertragen (Also
> wie würde D_1F und D_2F aussehen)?
>
Nun, da [mm]F\left(x,y,z\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y,z\right) \\ f_{2}\left(x,y,z\right)}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
ergibt sich die Ableitung nach der Kettenregel zu:
[mm]\bruch{\partial f_{1}}{\partial x}*\bruch{dx}{dz}+\bruch{\partial f_{1}}{\partial y}*\bruch{dy}{dz}+\bruch{\partial f_{1}}{\partial z}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial f_{2}}{\partial x}*\bruch{dx}{dz}+\bruch{\partial f_{2}}{\partial y}*\bruch{dy}{dz}+\bruch{\partial f_{2}}{\partial z}=0[/mm]
[mm]\gdw \pmat{\bruch{\partial f_{1}}{\partial x} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial x} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y}} *\pmat{\bruch{dx}{dz} \\ \bruch{dy}{dz}}+\pmat{\bruch{\partial f_{1}}{\partial z} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial z}}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Woraus sich
[mm]\pmat{\bruch{dx}{dz} \\ \bruch{dy}{dz}}=-\pmat{\bruch{\partial f_{1}}{\partial x} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial x} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y}}^{-1}*\pmat{\bruch{\partial f_{1}}{\partial z} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial z}}[/mm]
ergibt.
Gruss
MathePower
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Also, wenn ich das soweit umforme und einsetze, bekomme ich hierfür
[mm] (x(z))^2 [/mm] - [mm] (y(z))^2 [/mm] = 0
[mm] (y(z))^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] = 0
nur 0=0 und 0=0,
da ich für x(z) = [mm] \wurzel{z^2} [/mm] und für y(z) = [mm] \wurzel{z^2}
[/mm]
herausbekomme, wie sieht's dann mit der Ableitung aus?
Gruß, Mathamatak
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Hallo mathamatak,
> Also, wenn ich das soweit umforme und einsetze, bekomme ich
> hierfür
>
>
> [mm](x(z))^2[/mm] - [mm](y(z))^2[/mm] = 0
>
> [mm](y(z))^2[/mm] - [mm]z^2[/mm] = 0
>
> nur 0=0 und 0=0,
>
> da ich für x(z) = [mm]\wurzel{z^2}[/mm] und für y(z) =
> [mm]\wurzel{z^2}[/mm]
>
> herausbekomme, wie sieht's dann mit der Ableitung aus?
Differenziere dieses Gleichungssystem
[mm](x(z))^2[/mm] - [mm](y(z))^2[/mm] = 0
[mm](y(z))^2[/mm] - [mm]z^2[/mm] = 0
nach z.
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> Gruß, Mathamatak
>
Gruß
MathePower
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