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Hi Leute,
ich habe ein Gleichungssystem das ich irgendwie nicht lösen kann.
Also die Aufgabe sieht so aus:
Gegen sei das folgende Gleichungssystem:
[mm] 3x+y-z+u^2=0
[/mm]
x-y+2z+u=0
2x+2y-3z+2u=0
1. Zeige dass es für jedes z [mm] \in \IR [/mm] genau eine Lösung (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] für das System gibt.
2. Zeige dass es ein u [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass das Gleichungssystem bezüglich x,y,z nicht eindeutig zu Lösen ist.
Vielleicht muss man die beiden mit anderen Ansätzen lösen.
Ich habe bei der 1. einfach versucht jede Variable auszurechnen, ist mir aber nicht gelungen.
ICh habe das -2 fache der 2. Zeile zur 3. Zeile addiert, dann habe ich
4y-5z=0
aber das bringt mir nichts?!
Kann mir jemand helfen?
Danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Prinzessin,
wenn zu jedem [mm] $z\in \IR$ [/mm] eine eindeutige LÖsung $(x; y; [mm] z)\in\IR^3$ [/mm] existiert, ist $z$ gar keine Variable mehr! D.h. du musst zeigen, dass obwohl dein Gleichungssystem für $x$ und $y$ überbestimmt ist (zwei Variablen, aber drei Gleichungen) die Lösung eindeutig ist. Das bedeutet aber, dass eine Zeile als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden kann - daher denke ich, dass das [mm] $u^2$ [/mm] in der ersten Zeile falsch ist! Sieh doch bitte nochmal nach.
Wenn du dies gezeigt hast, kannst du eigentlich schon daraus schliessen, dass dein Gleichungssystem für $x$, $y$, $z$ beliebig viele Lösungen hat.
Gruß Max
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Hallo Max,
danke dir.
Ich habe die 2. Zeile nach z aufgelöst:
[mm] -\bruch{u}{2}+\bruch{y}{2}-\bruch{x}{2}=z
[/mm]
Das in die 3. Zeile eingesetzt bringt mir:
[mm] 2x+2y+\bruch{3u}{2}-\bruch{3y}{2}+\bruch{3x}{2}+2u=0
[/mm]
Ist das so gemeint von dir?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Max |
Nein 
Warum löst du denn das Gleichungssystem nicht mit dem Gauß-Verfahren? Bist du denn sicher, dass die erste Gleichung richtig ist (insb. der Summand [mm] $u^2$)?
[/mm]
Max
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Hallo Max,
also ich glaube spontan dass die erste Zeile mit dem [mm] u^2 [/mm] falsch ist. Weil [mm] u^2 [/mm] zwei Zahlen ja liefert. Aber glauben reicht ja nicht.
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -3 & 2 }
[/mm]
Die Matrix muss ich auf die Form bringen oder?
[mm] \pmat{ 0 & x & x & x \\ 0 & 0 & x & x \\ 0 & 0 & 0 & x }
[/mm]
Ich habe beim ersten Versuch folgendes gemacht...
-3 fache der 2. Zeile zur 1. Zeile addieren
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -3 & 2 } \to \pmat{ 0 & 4 & -7 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -3 & 2 }
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] fache der 3. Zeile zur 2. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 4 & -7 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -3 & 2 } \to \pmat{ 0 & 4 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & \bruch{7}{2} & 0 \\ 2 & 2 & -3 & 2 }
[/mm]
In der 2. habe ich
[mm] -2y+\bruch{7}{2}z=0
[/mm]
[mm] \bruch{7}{4}z=y
[/mm]
In 1. Zeile einsetzen:
[mm] 4*\bruch{7}{4}z-7z-2u^2=0
[/mm]
[mm] 7z-7z-u^2=0
[/mm]
u=0
Aber ich denke dass das nicht so funktioniert, weil die 1. Zeile doch [mm] u^2 [/mm] und nicht u beinhaltet.
Muss ich es von Anfang an bei der Matrix auf 0 setzen?
Danke!!
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Hallo nochmal!
Ich habe das jetzt mal so gemacht, geht es auch so?
wenn ich aus der 2. Gleichung x ausrechne, habe ich:
x=y+2z-u
Das x in 1. Gleichung eingesetzt
I) 3y-6z-3u+y-z+u²
=4y-7z-3u+u²=0
x in 3. Gleichung:
III) 3y-4z-2u+2y-3z+2u=4y-7z
I)-III):
-3u+u²=0
u²=3u
für u=0
aus der I) habe ich auch für y:
4y-7z-3u+u²=0
=7/4z=y
Also ist y eindeutig, wenn man z beliebig wählt.
Das in die 3. Gleichung eingesetzt
2x+2*7/4z-3z
2x+1/2z=0
x=-z auch eindeutig..
Richtig so?
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Hab den Verlauf der Diskussion nur kurz überfliegen können, aber ich glaube, du hast eine Lösung für u übersehen. Aus u² -3u = 0 erhalten wir:
u ( u-3) = 0
Ein Produkt wir ja bekanntlich dann null, wenn einer der Faktoren null ist:
u = 0 v u-3 = 0
u = 0 v u = 3
Zu den Rest kann ich jetzt auf die schnelle leider keine Antwort geben!
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Danke für den Tipp!!
Aber das verwirrd mich jetzt sehr im Bezug auf die Eindeutigkeit!
Wie soll man dann die 1 Aufgabe zeigen???
Bringt mir das u=3 und u=0 für die 2. Aufgabe etwas?
Das verwirrd mich jetzt richtig irgendwie.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Fr 10.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Prinzessin!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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