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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Sa 31.01.2009 | | Autor: | tuxor |
| Aufgabe | Finde alle Tripel (x,y,z) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem erfüllen:
[mm] x^2 [/mm] + yz = 2
[mm] y^2 [/mm] + xz = 2
[mm] z^2 [/mm] + xy = 2 |
Ich kam ziemlich schnell darauf, dass für [mm] x=y=z=\pm1 [/mm] jeweils eine Lösung vorliegt. Außerdem habe ich aufgrund der Symmetrie die Vermutung, dass es generell nur für x=y=z Lösungen gibt - das kann ich aber nicht beweisen.
Durch Addition ergibt sich außerdem die Gleichung:
[mm] (x+y)^2 [/mm] + [mm] (x+z)^2 [/mm] + [mm] (y+z)^2 [/mm] = 12
Damit konnte ich bis jetzt aber auch noch nicht viel anfangen.
Wie könnte ich hier vorgehen?
viele Grüße
tuxor
Nachtrag (Idee für die Lösung):
Die Gleichungen lassen sich umformen und durch Addition in folgende Form bringen:
x(x-z) = y(y-z)
y(y-x) = z(z-x)
z(z-y) = x(x-y)
für xyz [mm] \not= [/mm] 0 gilt:
Wenn man diese drei Gleichungen jetzt multipliziert, bekommt man
(y-z)(x-y)(z-x) = 0
Das könnte drei Lösungen ergeben, in denen jeweils zwei Variablen gleich sind. Wenn aber zwei Variablen gleich sind, ist auch immer die dritte Variable gleich (Nachweis ist trivial). Und wenn alle gleich sind, dann sind auch alle [mm] \pm [/mm] 1
für xyz = 0 gilt:
Ist eine der Variablen Null, dann sind die anderen beiden jeweils [mm] \wurzel{2} [/mm] (dieser Nachweis ist auch recht einfach).
Kann jemand diese Lösung bestätigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 03.02.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo tuxor,
> Finde alle Tripel (x,y,z) reeller Zahlen, die das folgende
> Gleichungssystem erfüllen:
> [mm]x^2[/mm] + yz = 2
> [mm]y^2[/mm] + xz = 2
> [mm]z^2[/mm] + xy = 2
> Ich kam ziemlich schnell darauf, dass für [mm]x=y=z=\pm1[/mm]
> jeweils eine Lösung vorliegt. Außerdem habe ich aufgrund
> der Symmetrie die Vermutung, dass es generell nur für x=y=z
> Lösungen gibt - das kann ich aber nicht beweisen.
> Durch Addition ergibt sich außerdem die Gleichung:
> [mm](x+y)^2[/mm] + [mm](x+z)^2[/mm] + [mm](y+z)^2[/mm] = 12
> Damit konnte ich bis jetzt aber auch noch nicht viel
> anfangen.
>
> Wie könnte ich hier vorgehen?
>
> viele Grüße
> tuxor
>
>
> Nachtrag (Idee für die Lösung):
> Die Gleichungen lassen sich umformen und durch Addition in
> folgende Form bringen:
> x(x-z) = y(y-z)
> y(y-x) = z(z-x)
> z(z-y) = x(x-y)
>
> für xyz [mm]\not=[/mm] 0 gilt:
> Wenn man diese drei Gleichungen jetzt multipliziert,
> bekommt man
> (y-z)(x-y)(z-x) = 0
> Das könnte drei Lösungen ergeben, in denen jeweils zwei
> Variablen gleich sind. Wenn aber zwei Variablen gleich
> sind, ist auch immer die dritte Variable gleich (Nachweis
> ist trivial). Und wenn alle gleich sind, dann sind auch
> alle [mm]\pm[/mm] 1
>
> für xyz = 0 gilt:
> Ist eine der Variablen Null, dann sind die anderen beiden
> jeweils [mm]\wurzel{2}[/mm] (dieser Nachweis ist auch recht
> einfach).
>
> Kann jemand diese Lösung bestätigen?
Bis auf eine Kleinigkeit ist alles richtig. Im Fall xyz=0 können die beiden anderen Variablen natürlich auch $- [mm] \wurzel{2} [/mm] $ sein.
Ein andere Lösungsmöglichkeit ist z.B. 2. und 3. Gleichung von der ersten subtrahieren und dann geeignet faktorisieren.
Gruß
Sigrid
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