Gleichungssystem again < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
a= [mm] \pmat{-1&1&1 \\ 2&2&4 \\ 1&3&5}.
[/mm]
Lösen Sie das Gleichungssystem [mm] A*\vec{x}=\vec{b}=(1,2,\beta]^{T} [/mm] |
ok ich habe die Matrix mal auf Zeilennormalform gebracht, das sieht dann so aus:
[mm] \pmat{-1&1&1 &|1 \\ 0&4&6 &|4 \\ 0&0&6 &|\beta-1}
[/mm]
dann kann ich sagen für [mm] \beta=1 [/mm] ist der Rg(A)>Rg(A,b)
in meine skript finde ich für das aber keine anweisungen, ich finde nur:
Ist Rang (A,b) < Rang A -> nicth lösbar
Rang (A,b) = Rang A = n -> genau eine lösung
Rang (A,b)=Rang(A)<n -> freiheitsgrade
was mache ich hier nun?
vielen dank und lg
markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
ich kenne zwar deine schreibweise mit Rang(A,b) nicht, aber es ist definitiv so, dass A, wenn die Zeilenstufenform richtig wäre, vollen Rang hätte und du eine eindeutige lösung hättest.
in deinem beispiel ist es jedoch nicht so, denn Rang(A) ist hier 2. du hast dich bei der dritten zeile verrechnet. die ist komplett 0 (bis auf den vektor. da steht was mit dem [mm] \beta [/mm] ).
in dem falle ist diese nicht für alle [mm] \beta [/mm] lösbar.
gruß bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ok ja danke, hab den fhler schon gefunden, dann hab ich ales in der matrix in der letzten zeile alles 0, und beim vektor steht [mm] \beta [/mm] - 1
wenn dann [mm] \beta [/mm] = 1, dann ist das GLS lösbar, mit einem freiheitsgrad, und wenn [mm] \beta \not= [/mm] 1, dann ist es nicht lösbar, , da ja der rang (A,b) = Rang der Matrix und des Vektors) größer ist als der Rang der Matrix.
verstehe ich das richtig?
dank und lg
markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
ok, jetzt weiß ich auch, was mit Rang(A,b) gemeint ist. das passt alles so
gruß bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
und dann setzte ich einfach [mm] \beta [/mm] = 1, wähle mir einen freiheitsgrad und löse das ganze nach [mm] \vec{x} [/mm] auf oder?
zB wähle z=2
II. gleichung:
4y+12=4 --> y=-2
I. gleichung
-x-2+2=1 --> x=1
daraus folgt:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\-2\\2}
[/mm]
ist das richtig?
lg mark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 23.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> und dann setzte ich einfach [mm]\beta[/mm] = 1, wähle mir einen
> freiheitsgrad und löse das ganze nach [mm]\vec{x}[/mm] auf oder?
>
> zB wähle z=2
>
> II. gleichung:
>
> 4y+12=4 --> y=-2
>
> I. gleichung
>
> -x-2+2=1 --> x=1
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\
-2\\
2}[/mm]
>
> ist das richtig?
Nicht ganz.
Für [mm] \beta\ne1 [/mm] kannst du eine konkrete, von [mm] \beta [/mm] abhängige Lösung berechnen.
Es gilt ja:
[mm] x_{3}=\frac{\beta-1}{6}
[/mm]
Daraus kannst du dann mit der zweiten Gleichung [mm] x_{2} [/mm] bestimmen, und damit dann schlußendlich [mm] x_{1} [/mm] über die erste Gleichung. Die beiden Werte sind dann aber noch von [mm] \beta [/mm] abhängig.
Für [mm] \beta=1 [/mm] hast du:
$ [mm] \pmat{-1&1&1 &|1 \\ 0&4&6 &|4 \\ 0&0&6 &|0} [/mm] $
Was bedeutet nun die letzte Zeile?
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich habs jetzt auch gerechnet. Bei mir siehts aber so aus:
$ [mm] \pmat{-1&1&1 &|1 \\ 0&4&6 &|4 \\ 0&0&0 &|\beta-3} [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Fred.
> Ich habs jetzt auch gerechnet. Bei mir siehts aber so
> aus:
>
>
>
> [mm]\pmat{-1&1&1 &|1 \\
0&4&6 &|4 \\
0&0&0 &|\beta-3}[/mm]
Dann macht die Fallunterscheidung [mm] \beta=3 [/mm] bzw [mm] \beta\ne3 [/mm] auch viel mehr Sinn. Ich hatte mich bei meiner Antwort schon ein wenig gewundert.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ok dann habe ich 2 fälle:
1. fall [mm] \beta\not= [/mm] 3
nicht lösbar
2. fall [mm] \beta [/mm] = 3
1 freiheitsgrad, und dann kann ich mir entweder x,y, oder z wählen um dann das gleichungssystem für die anderen beiden zu lösen (hatte ich vorher schon mal das mit dem freiheitsgrad...)
richtig?
lg mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
sry, hatte vorhin nicht gemerkt dass es nur eine mitteilung war...
ok dann habe ich 2 fälle:
1. fall $ [mm] \beta\not= [/mm] $ 3
nicht lösbar
2. fall $ [mm] \beta [/mm] $ = 3
1 freiheitsgrad, und dann kann ich mir entweder x,y, oder z wählen um dann das gleichungssystem für die anderen beiden zu lösen (hatte ich vorher schon mal das mit dem freiheitsgrad...)
richtig?
lg mark
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Hallo mwieland,
> sry, hatte vorhin nicht gemerkt dass es nur eine mitteilung
> war...
>
> ok dann habe ich 2 fälle:
>
> 1. fall [mm]\beta\not=[/mm] 3
>
> nicht lösbar
>
> 2. fall [mm]\beta[/mm] = 3
>
> 1 freiheitsgrad, und dann kann ich mir entweder x,y, oder z
> wählen um dann das gleichungssystem für die anderen
> beiden zu lösen (hatte ich vorher schon mal das mit dem
> freiheitsgrad...)
>
> richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> lg mark
Gruss
MathePower
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