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| Aufgabe | Ermittle ein LGS A*x=b mit Lösungsmenge
[mm] L=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+Lin(\vektor{1 \\ 2 \\ -1},\vektor{2 \\ -3 \\ 1})\subset \IR^3 [/mm] und beschreibe L geometrisch! |
Könnt ihr mir erklären wie man so ein lineares Gleichungssystem bestimmen kann?
Über Tipps wäre ich echt dankbar!
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ermittle ein LGS A*x=b mit Lösungsmenge
>
> [mm]L=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+Lin(\vektor{1 \\ 2 \\ -1},\vektor{2 \\ -3 \\ 1})\subset \IR^3[/mm]
> und beschreibe L geometrisch!
> Könnt ihr mir erklären wie man so ein lineares
> Gleichungssystem bestimmen kann?
>
Setze hier:
[mm]x=2+s*1+t*2[/mm]
[mm]y=3+s*2+t*\left(-3\right)[/mm]
[mm]z=0+s*\left(-1\right)+t*1[/mm]
Löse nun zwei der drei Gleichungen nach s,t auf,
und setze dies in die verbliebene 3. Gleichung ein.
> Über Tipps wäre ich echt dankbar!
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Do 05.01.2012 | | Autor: | heinze |
> [mm]x=2+s*1+t*2[/mm]
>
> [mm]y=3+s*2+t*\left(-3\right)[/mm]
>
> [mm]z=0+s*\left(-1\right)+t*1[/mm]
>
> Löse nun zwei der drei Gleichungen nach s,t auf,
> und setze dies in die verbliebene 3. Gleichung ein.
t=s+z
s=x-2-2t
in die 2.Gleichung einsetzen:
y=-1+2x-4t-4s-3z
Okay, gemacht! Aber wozu habe ich das nun gemacht und wie geht es weiter?
LG heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Do 05.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Scheinen mehrere an der Übungsaufgabe interessiert zu sein.
Das [mm] $\hat{x}$ [/mm] in [mm] $A\hat{x}=b$ [/mm] ist doch [mm] $\hat{x}=(x,y,z)^T$
[/mm]
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Hallo heinze,
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> > [mm]x=2+s*1+t*2[/mm]
> >
> > [mm]y=3+s*2+t*\left(-3\right)[/mm]
> >
> > [mm]z=0+s*\left(-1\right)+t*1[/mm]
> >
> > Löse nun zwei der drei Gleichungen nach s,t auf,
> > und setze dies in die verbliebene 3. Gleichung ein.
>
>
> t=s+z
> s=x-2-2t
>
s,t müssen hier in Abhängigeit von x,z ausgedrückt werden.
> in die 2.Gleichung einsetzen:
> y=-1+2x-4t-4s-3z
>
> Okay, gemacht! Aber wozu habe ich das nun gemacht und wie
> geht es weiter?
>
>
> LG heinze
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 05.01.2012 | | Autor: | heinze |
Mir ist nicht ganz klar was du damit meinst, worauf du hinaus willst. Vielleicht erklärst du es mir nochmal? Wäre nett!
LG heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Do 05.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst s,t aus dem GS rauswefen, dann bleibt ein Zusammenhanf zwischen x,y,z
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 So 08.01.2012 | | Autor: | heinze |
Das verstehe ich nicht! Dann hab ich wohl in der Schule schlecht aufgepasst oder ich stehe mit beiden Füßen auf dem Schlauch.
Vielleicht zeigt ihr mir wie ich das LGS zu der Lösungsmenge aufstelle.
Ich habe nochmal die VL und Lineare Algebra Bücher gewälzt aber das hat mich nicht weiter gebracht.
LG heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das verstehe ich nicht! Dann hab ich wohl in der Schule
> schlecht aufgepasst oder ich stehe mit beiden Füßen auf
> dem Schlauch.
>
> Vielleicht zeigt ihr mir wie ich das LGS zu der
> Lösungsmenge aufstelle.
> Ich habe nochmal die VL und Lineare Algebra Bücher
> gewälzt aber das hat mich nicht weiter gebracht.
[mm] $$L=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+Lin(\vektor{1 \\ 2 \\ -1},\vektor{2 \\ -3 \\ 1})\subset \IR^3$$ [/mm]
Du sollst halt nicht wälzen, sondern selbstständig Aufgaben lösen. Durch reines Lesen einer Theorie oder von Beispielen kann man zwar meistens alles nachvollziehen, gelangt aber nicht zu dem Punkt, einen eigenständigen Lösungsweg bei einer anderen, analogen Aufgabe zu erstellen. Das ist aber wesentlich!!
(Wenn ich mal Zeit habe, schaue ich mal, ob ich nicht irgendwo ein Buch finde, wo solche Aufgaben mit Lösungsweg drinstehen. Oftmals gibt's derartige Bücher von Studenten für Studenten geschrieben. Du sollst dann aber die Aufgabe lösen, indem Du es erstmal selbst probierst. Dann meinetwegen in die Lösung mal guckst, sie weglegst, Dich nochmal dran versuchst, und erst, falls Du dann nicht weiterkommst, mal wieder in die Lösung guckst, was die da machen. Danach wieder weglegen und Dich selbstständig weiter an der Aufgabe versuchen! Undsoweiter. Dieses ist echt ein Lernverfahren, was ich vielen Leuten in der Mathematik nahelege und was auch schon oft geholfen hat - auch, wenn es anstrengend und aufwendig ist. Da musst Du aber halt durch! Schließlich erwartest Du später auch von den Schülern, dass sie Aufgaben lösen können, ohne jedes mal in eine Musterlösung zu gucken!!)
Es gilt nun:
[mm] $$L=\left\{\vektor{x\\y\\z} \in \IR^3:\;\;\vektor{x\\y\\z}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+s*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ -3 \\ 1}:\;\;\;s,t \in \IR\right\}\,.$$
[/mm]
Also gilt
[mm] $$\IR^3 \ni [/mm] r [mm] \in [/mm] L$$
[mm] $$\gdw [/mm] r=(x,y,z) [mm] \text{ und }$$
[/mm]
[mm] $$(I)\;\;x=2+s*1+t*2,$$
[/mm]
[mm] $$(II)\;\;y=3+2*s-3*t,$$
[/mm]
[mm] $$(III)\;\;z=0-s+t\;\;\text{ mit einem Paar } [/mm] (s,t) [mm] \in \IR^2\,.\;\;\;^{[1]}$$
[/mm]
Wie eliminiere ich hier nun [mm] $s\,$ [/mm] und [mm] $t\,$? [/mm] Das kann man durch Auflösen der Gleichungen machen:
Löse (I) nach [mm] $s\,$ [/mm] auf, setze dann [mm] $s\,$ [/mm] in (II) und (III) ein:
Die Gleichung, die durch Einsetzen von [mm] $s\,$ [/mm] in (II) erhalten wurde, nennen wir (II'). Analog gibt's dann (III').
Löse nun (II') nach [mm] $t\,$ [/mm] auf und setze dieses dann in (III') ein.
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Alternativ:
Berechne
[mm] $$(1)=2*(I)-(II)\,$$
[/mm]
[mm] $$(2)=(I)+(III)\,.$$
[/mm]
Dann gibt's in den Gleichungen [mm] $(1)\,$ [/mm] und [mm] $(2)\,$ [/mm] kein [mm] $s\,$ [/mm] mehr. Kombiniere nun (1) und (2) so, dass [mm] $t\,$ [/mm] eliminiert wird.
P.S.:
Hast Du Freds Tipp gelesen?
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P.P.S.:
Mal ein einfacheres Analogon:
Wenn Du die Gerade [mm] $L=\{(x,y)^T \in \IR^2:\;\;(x,y)^T=(2,3)^T+s*(5,6)^T:\;s \in \IR\}$ [/mm] als Lösungsmenge eines Gleichungssystems schreiben wolltest:
$$r=(x,y) [mm] \in [/mm] L$$
[mm] $$\gdw (I)\;\;x=2+s*5 \text{ und }\;\;y=3+s*6\;\;\text{ mit einem }s \in \IR\,.$$
[/mm]
Aus (I) folgt dann $s=(x-2)/5$ und [mm] $s=(y-3)/3\,,$ [/mm] also
$$(x-2)/5=(y-3)/3$$
[mm] $$\gdw [/mm] 3x-6=5y-15$$
[mm] $$\gdw y=\frac{3}{5}x+\frac{9}{5}\,.$$
[/mm]
Letztstehendes kennst Du sicher als "Geradengleichung" - und wie der Zusammenhang zum Graphen von [mm] $f(x)=\frac{3}{5}x+\frac{9}{5}$ [/mm] aus der Geradengleichung ersichtlich ist, sollte Dir klar sein. Dass mein [mm] $L\,$ [/mm] also offensichtlich eine affine Gerade des [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreibt, könnte man also schon sehr früh in der Schule erkennen, wenn man ihnen sagt, dass man mein [mm] $L\,$ [/mm] auch in der Form
[mm] $$L=\left\{(x,y)^T \in \IR:\;\;y=\frac{3}{5}x+\frac{9}{5}\right\}$$
[/mm]
schreiben kann.
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$^{[1]}$ Wir schreiben auch $(s,t) [mm] \in \IR^2$ [/mm] anstatt [mm] $\{s,t\} \subseteq \IR$ [/mm] bzw. $s,t [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ermittle ein LGS A*x=b mit Lösungsmenge
>
> [mm]L=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+Lin(\vektor{1 \\ 2 \\ -1},\vektor{2 \\ -3 \\ 1})\subset \IR^3[/mm]
> und beschreibe L geometrisch!
> Könnt ihr mir erklären wie man so ein lineares
> Gleichungssystem bestimmen kann?
>
> Über Tipps wäre ich echt dankbar!
Hast Du alles vergessen, was Du in der Schule gelernt hast ? Das ist schlecht, denn Du willst ja später mal unterrichten.
Schau genau hin: L ist eine Ebene im Raum mit dem Aufpunkt (2|3|0) und den Richtungsvektoren
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 1}.
[/mm]
In der Schule hat Du gelernt wie man eine solche Ebene auf die Form
ax+by+cz=d
bringt.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um Dir Freds Vorgehensweise ein bisschen zu erläutern:
In der Schule oder wenigstens Lineare Algebra I lernt man, wie man in
[mm] $$ax+by+cz=d\,$$
[/mm]
einen Normalenvektor der Ebene ablesen kann. Und durch einsetzen eines Punktes der Ebene bestimmt man [mm] $d\,.$
[/mm]
Bei Dir: Denke mal an das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren!
Und weiterer Tipp: Such mal auf Wiki nach Ebenengleichungen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 12.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Das Stichwort "Ebene" war wirklich hilfreich. Hab das Thema schon ganz aus meinem Kopf verscheucht gehabt, weil ich es zuletzt in der Schule gehört hab. Dementsprechend bekomm ich es auch nicht mehr ganz zusammen.
Die Aufgabe will ja (1) ein lineares Gleichungssystem (A [mm] \cdot [/mm] x = b) und (2) eine geometrische Beschreibung von [mm] \IL [/mm] . Für (2) wird wohl reichen zu sagen, dass es sich um eine Ebene handelt. Und ist für (1) die Normalform der Ebene verlangt?
Also, ich hab jetzt die Form ax+by+cz=d ausgerechnet ( $ x + 3 y + 7 z = 11 $ ) Hab auch die Parameterdarstellung - großes kunststück ; ) ( $ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\0} [/mm] + s [mm] \cdot \vektor{1\\2\\-1} [/mm] + t [mm] \cdot \vektor{2\\-3\\1} [/mm] $ ) und auf den Normalenvektor komm ich sowohl über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, als auch durch die allgemeine Form ( $ [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1\\3\\7} [/mm] $ ). Das ich einmal [mm] \vec{n} [/mm] und einmal [mm] -\vec{n} [/mm] raushab, macht ja kein Unterschied.
Aber wie genau war nochmal die Normalengleichung?
[mm] \vektor{1\\3\\7} \cdot \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\0} [/mm] So? Ist das dann die, die verlangt wird?
LG
Fin
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Hallo Fincayra,
> Hi
>
> Das Stichwort "Ebene" war wirklich hilfreich. Hab das Thema
> schon ganz aus meinem Kopf verscheucht gehabt, weil ich es
> zuletzt in der Schule gehört hab. Dementsprechend bekomm
> ich es auch nicht mehr ganz zusammen.
>
> Die Aufgabe will ja (1) ein lineares Gleichungssystem (A
> [mm]\cdot[/mm] x = b) und (2) eine geometrische Beschreibung von [mm]\IL[/mm]
> . Für (2) wird wohl reichen zu sagen, dass es sich um eine
> Ebene handelt. Und ist für (1) die Normalform der Ebene
> verlangt?
>
> Also, ich hab jetzt die Form ax+by+cz=d ausgerechnet ( [mm]x + 3 y + 7 z = 11[/mm]
> ) Hab auch die Parameterdarstellung - großes kunststück ;
> ) ( [mm]\vec{x} = \vektor{2\\3\\0} + s \cdot \vektor{1\\2\\-1} + t \cdot \vektor{2\\-3\\1}[/mm]
> ) und auf den Normalenvektor komm ich sowohl über das
> Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, als auch durch die
> allgemeine Form ( [mm]\vec{n} = \vektor{1\\3\\7}[/mm] ). Das ich
> einmal [mm]\vec{n}[/mm] und einmal [mm]-\vec{n}[/mm] raushab, macht ja kein
> Unterschied.
> Aber wie genau war nochmal die Normalengleichung?
> [mm]\vektor{1\\3\\7} \cdot \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2\\3\\0}[/mm] So? Ist
> das dann die, die verlangt wird?
>
Die Normalengleichung lautet:
[mm]\vektor{1\\3\\7} \cdot \vec{x} = \vektor{2\\3\\0} \cdot \blue{ \vektor{1\\3\\7}}[/mm]
oder
[mm]\left(\vec{x}-\vektor{2\\3\\0}\right)\cdot \vektor{1\\3\\7}=0[/mm]
Das ist dann die Normalengleichung, die verlangt wird.
> LG
> Fin
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Do 12.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ah, gut, dann muss ich das alles nur noch ordentlich aufschreiben und bin fertig für heute Abend. Vielen Dank für die Antwort ncoh am späten Abend *freu*
LG
Fin
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Fr 13.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich muss für die Aufagbe nur die Normalengleichung bestimmen?
Das ist in der Aufgabe gemeint mit: Bestimme anhand der Lösungsmenge das Gleichungssystem?
LG heinze
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> Ich muss für die Aufagbe nur die Normalengleichung
> bestimmen?
> Das ist in der Aufgabe gemeint mit: Bestimme anhand der
> Lösungsmenge das Gleichungssystem?
Hallo,
die Aufgabenstellung "Bestimme anhand der Lösungsmenge das Gleichungssystem" ist kein anderer Ausdruck für "Bestimme die Normalengleichung".
Mit der Aufgabe zunächst das gemeint, was dasteht: man hat die Lösungsmenge gegeben und soll irgendein LGS sagen, welches diese Lösungsmenge hat.
Da wären ja verschiedene denkbar.
Eines der Gleichungssysteme, welches diese Lösungsmenge hat, ist halt die Normalengleichung. Wenn man sich ein bißchen mit der Vektorrechnung der Schule auskennt, ist das das Naheliegendste.
Aber es ist duchaus möglich, daß Du eine andere Lösung ausklamüsert hast, welche auch richtig ist.
LG Angela
>
> LG heinze
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