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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:07 Fr 07.07.2006 | | Autor: | alexchill |
| Aufgabe | Gegeben ist das Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 5 & 2 & 1 & |8 \\ 7 & 2 & 3 & |16 \\ 2 & 0 & 2 & |10 \\ 4 & 1 & 2 & |10 \\ 3 & 1 & 1 & |6 }
[/mm]
Lösen Sie, soweit möglich, das Gleichungssystem. |
Mit dem Treppenverfahren versucht zu lösen:
[mm] \pmat{ 5 & 2 & 1 & |8 \\ 7 & 2 & 3 & |16 \\ 2 & 0 & 2 & |10 \\ 4 & 1 & 2 & |10 \\ 3 & 1 & 1 & |6 }
[/mm]
In der 1.Spalte, alle Zeilen mit "x" multipliziert und + 1.Zeile:
[mm] \pmat{ 5 & 2 & 1 & |8 \\ 0 & 4/7 & -8/7 & |-24/7 \\ 0 & 2 & -4 & |-17 \\ 0 & -1/4 & -1,5 & |-4,5 \\ 0 & 1/3 & -2/3 & |-2 }
[/mm]
In der 2.Spalte, alle Zeilen mit "x" multipliziert und + 2.Zeile:
[mm] \pmat{ -10/7 & 0 & -10/7 & |-40/7 \\ 0 & 4/7 & -8/7 & |-24/7 \\ 0 & 0 & 0 & |10/7 \\ 0 & 0 & -32/7 & |-96/7 \\ 0 & 0 & 0 & |0 }
[/mm]
3. und 4. Zeile getauscht:
[mm] \pmat{ -10/7 & 0 & -10/7 & |-40/7 \\ 0 & 4/7 & -8/7 & |-24/7 \\ 0 & 0 & -32/7 & |-96/7 \\ 0 & 0 & 0 & |10/7 \\ 0 & 0 & 0 & |0 }
[/mm]
In der 3.Spalte, alle Zeilen mit "x" multipliziert und + 3.Zeile:
[mm] \pmat{ 32/7 & 0 & 0 & |32/7 \\ 0 & 14/7 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & -32/7 & |-96/7 \\ 0 & 0 & 0 & |10/7 \\ 0 & 0 & 0 & |0 }
[/mm]
Jeweilge Zeilen auf 1 gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & |1 \\ 0 & 1 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |3 \\ 0 & 0 & 0 & |10/7 \\ 0 & 0 & 0 & |0 }
[/mm]
Laut Lösung sollte jedoch:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & |5 \\ 2 & 1 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & |2 \\ 0 & 0 & 0 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |6 }
[/mm]
rauskommen.
Kann mir jemand helfen ? Vielen Dank für jeglich Art der Unterstützung :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Fr 07.07.2006 | | Autor: | Oliver |
Hallo Alex,
vielleicht täusche ich mich, aber kann es sein, dass das Ding gar keine Lösung hat?
Ausgeschrieben heißt das doch:
III. $2 [mm] x_1 [/mm] + 0 [mm] x_2 [/mm] + 2 [mm] x_3 [/mm] = 10$
IV. $4 [mm] x_1 [/mm] + 1 [mm] x_2 [/mm] + 2 [mm] x_3 [/mm] = 10$
V. $3 [mm] x_1 [/mm] + 1 [mm] x_2 [/mm] + 1 [mm] x_3 [/mm] = 6$
IV.-V. $1 [mm] x_1 [/mm] + 0 [mm] x_2 [/mm] + 1 [mm] x_3 [/mm] = 4$
Das ist aber ein Widerspruch zu III.
Steh ich auf dem Schlauch?
Viele Grüße
Oliver
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Die Frage wurde mit folgendem Gleichunggsystem gestellt:
5x+2y+1z=8
7x+2y+3z=16
2x+ 2z=10
4x+1y+2z=10
3x+1y+1z=6
Habs hier halt gleich umgestellt gehabt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Fr 07.07.2006 | | Autor: | Oliver |
Hallo Alex,
die Frage bleibt: wie in obigem Artikel gezeigt, führen die Gleichungen zu einem Widerspruch und das System hat somit keine Lösung.
Viele Grüße
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Fr 07.07.2006 | | Autor: | Oliver |
Den Widerspruch siehst Du sogar in dem von Dir angegebenen Lösungsweg:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & |1 \\ 0 & 1 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |3 \\ 0 & 0 & 0 & |10/7 \\ 0 & 0 & 0 & |0 } [/mm] $
Die vierte Zeile heißt ja nichts anderes als:
$ 0 x + 0 y + 0 z = 10/7 $
=> geht nicht.
Entsprechendes gilt auch für die Musterlösung.
Viele Grüße
Oliver
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Hmm, nun ja, deine Logik kann ich zwar nachhvollzieher aber noch nicht so recht akzeptieren :). Die Aufgabe war schließlich eine Klausuraufgabe und die dazugehörige Antwort die "Musterlösung!?". Da sich jedoch diese Musterlösungen manchmal falsch sind, mag ich daran noch zweifel, aber die Aufgabe müsste korrekt gestellt sein ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Fr 07.07.2006 | | Autor: | Oliver |
> Antwort die "Musterlösung!?". Da sich jedoch diese
> Musterlösungen manchmal falsch sind, mag ich daran noch
> zweifel, aber die Aufgabe müsste korrekt gestellt sein ?!
Ist Sie ja :) Du hast als Ergebnis einen Widerspruch, die Musterlösung ebenfalls ... nur seid ihr eben an anderen Stellen auf den Widerspruch gestoßen.
Wenn das LGS eine eindeutige Lösung hast, müsstest Du auch auf eben diese Lösung kommen - hier aber gibt es mehr als einen Weg, auf den Widerspruch zu stoßen.
Die dritte Zeile der Musterlösung ergibt sich beispielsweise gerade durch den von mir zu Beginn hergeleiteten Widerspruch:
III. $2 [mm] x_1 [/mm] + 0 [mm] x_2 [/mm] + 2 [mm] x_3 [/mm] = 10$
IV.-V. $1 [mm] x_1 [/mm] + 0 [mm] x_2 [/mm] + 1 [mm] x_3 [/mm] = 4$
III.-2*(IV.-V.) = $0 [mm] x_1 [/mm] + 0 [mm] x_2 [/mm] + 0 [mm] x_3 [/mm] = 2$
Analog kann man auf die eine oder andere Weise auch die anderen Zeilen herleiten, probier's doch einfach mal aus ....
Viele Grüße
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Fr 07.07.2006 | | Autor: | alexchill |
Ok, vielen Dank für deine Hilfe Oliver (... und das noch zu später Stunde)
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Hmm ich hab gerade entdeckt das in der Musterlösung noch folgendes steht:
Inhomogen: Keine Lösung
Homogen: [mm] \vec{x}= \vec{0}- \lambda \pmat{ -1 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
Wäre meine Lösung auch richtig ( in dem Sinne das im Ergebnis ein Widerspruch gibt), dann wäre ich aber nicht auf diese obige Lösung zusätzlich gekommen. Das widerum müsste doch implizieren, dass es doch "nur" eine "richtige" Lösung gibt?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 09.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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