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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 30.12.2010 | | Autor: | anno |
| Aufgabe | gegeben ist folgendes Gleichungssystem:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 8
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] − [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] − [mm] 3x_{3} [/mm] = −8
a) Bestimmen sie die Lösungsmenge mit dem Gauß-Jordan verfahren
b) bestimmen sie die lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems
c) stellen sie die lösungsmenge des Gleichungssystems als Summe einer speziellen Lösung zusammen mit dem Lösungsraum des homogenen Systems dar
d) Welche Dimension besitzt der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems?
e) Warum bildet der Lösungsraum keinen Vektorraum? Beweisen Sie dies. |
Hier meine Lösung zur a).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier meine Lösung zur b).
[mm] x_{1} [/mm] = -16 + [mm] 5x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 24 - [mm] 7x_{3}
[/mm]
homogenes Gleichungssystem:
0 = [mm] x_{1} [/mm] - [mm] 5x_{3}
[/mm]
0 = [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] 5x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] 7x_{3}
[/mm]
Hier meine Lösung zur c)
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{-16 \\ 24 \\ 0} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] * [mm] \vektor{-5 \\ 7 \\ 0}
[/mm]
Ab der d komme ich da leider nicht mehr weiter, aber ich denke dass meine a - c) stimmt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
> gegeben ist folgendes Gleichungssystem:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 8
> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] − [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] − [mm]3x_{3}[/mm] = −8
>
> a) Bestimmen sie die Lösungsmenge mit dem Gauß-Jordan
> verfahren
>
> b) bestimmen sie die lösungsmenge des zugehörigen
> homogenen Gleichungssystems
>
> c) stellen sie die lösungsmenge des Gleichungssystems als
> Summe einer speziellen Lösung zusammen mit dem
> Lösungsraum des homogenen Systems dar
>
> d) Welche Dimension besitzt der Lösungsraum des homogenen
> Gleichungssystems?
>
> e) Warum bildet der Lösungsraum keinen Vektorraum?
> Beweisen Sie dies.
>
>
> Hier meine Lösung zur a).
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hier meine Lösung zur b).
<diese Zeile ist dir etwas verrutscht>
>
> [mm]x_{1}[/mm] = -16 + [mm]5x_{3}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 24 - [mm]7x_{3}[/mm]
>
Stimmt.
Wenn du jetzt schon einen Parameter einführst, bekommst du auch noch eine dritte Zeile:
[mm] x_{3} = s[/mm]
Also insgesamt:
[mm]x_1 = -16 + 5s[/mm]
[mm]x_2 = 24 - 7s [/mm]
[mm]x_3 = 0 + s [/mm]
Und da steckt auch schon die Lösung von c) und d) mit drin - denk dir einfach die Vektorklammern um die drei Teile....
> homogenes Gleichungssystem:
>
> 0 = [mm]x_{1}[/mm] - [mm]5x_{3}[/mm]
> 0 = [mm]x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]5x_{3}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]7x_{3}[/mm]
>
>
> Hier meine Lösung zur c)
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{-16 \\ 24 \\ 0}[/mm]
> = [mm]x_{3}[/mm] * [mm]\vektor{-5 \\ 7 \\ 0}[/mm]
Naja, das passt nicht mehr so ganz.
Die Lösungen sind eher (spezielle des inhomogenen + Lösungsraum des homogenen Systems):
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} = \vektor{-16 \\ 24 \\ 0} + s *\vektor{-5 \\ 7 \\ 0} [/mm]
Wobei beim hinteren Vektor die Vertauschung des Vorzeichens bei 5 und 7 egal ist.
d) Naja, die Dimension des Lösungsraums des homogenen Systems kannst du an der Zahl der benötigten Parameter ablesen, hier ist dies also 1 (geometrisch ist dein Lösungsraum eine Gerade durch den Ursprung, also insbesondere ein Unterraum des Vektorraums [mm] \IR^{3}).
[/mm]
e) Die Lösung aus c) beschreibt auch eine Gerade, aber die geht nicht durch den Ursprung, also liegt der Nullvektor nicht drin, also ist das kein Vektorraum.
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> Ab der d komme ich da leider nicht mehr weiter, aber ich
> denke dass meine a - c) stimmt.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 30.12.2010 | | Autor: | anno |
Ich habe hier mal noch was zu der Dimension gefunden.
https://matheraum.de/forum/Dimension_des_Loesungsraumes/t80578
Hier steht:
Dimension Lösungsraum = Dimension Vektor - rg(A) [mm] \hat= [/mm] dim(L)=dim(V)-rg(A)
Allerdings kann ich das rg(A) nicht ganz entziffern. Was bedeutet das denn genau?
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Hallo anno,
> Ich habe hier mal noch was zu der Dimension gefunden.
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> https://matheraum.de/forum/Dimension_des_Loesungsraumes/t80578
>
> Hier steht:
>
> Dimension Lösungsraum = Dimension Vektor - rg(A) [mm]\hat=[/mm]
> dim(L)=dim(V)-rg(A)
>
> Allerdings kann ich das rg(A) nicht ganz entziffern. Was
> bedeutet das denn genau?
rg(A) ist die Anzahl der Zeilen in A reduziert um
die Anzahl der Nullzeilen, die Du durch den
Gauß-Algorithmus erhältst.
Gruss
MathePower
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