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| Aufgabe | Für welche(s) [mm] x\in\IR [/mm] ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar?
(4-x)a + b + 2c = 2
-a - xb - c = 0
2b + (2-x)c = 1 |
Moin!
Ich habe diese aufgabe gelöst jedoch anders als mein Dozent und da hat sich mir dann ne frage aufgetan, von der ich hoffe das sie mir jemand beantworten kann.
Ich habe dies Aufgabe wie voll gelöst:
Ich habe das GS als 3x3 Matrix geschrieben. Dann die Determinate nach Sarrus berechnet (dabei verrechne ich mich jedoch mal gerne, also vielleicht nicht optimale Lösung für mich). Kam dann auf eine Gleichung 3ten Grades:
[mm] -x^{3}+6x^{2}-11x+6 [/mm] = 0 (ehrlich gesagt weiß ich gar nicht warum die Determinante 0 sein muss?!)
Da man da nichst ausklammern kann habe ich die Polynomdivision bemüht um dann die entstandene Gleichung 2ten Grades mit der pq-Formel zu berechnen. Jedoch schein mit das ganze etwas zu mühselig und langwierig, wenn man da nicht so sattelfest ist! Vielleicht gibt es ja ne bessere Möglichkeit.
Mein Dozent hatte nämlich folgenden Schritt gemacht, nachdem er die GLeichung als Matrix aufgeschrieben hatte.
[mm] det\underline{A} [/mm] = 0 = [mm] \vmat{ (4-x) & 1 & 2 \\ -1 & (-x) & -1 \\ 0 & 2 & (s-x)}
[/mm]
= -2 * [mm] \vmat{ (4-x) & 2 \\ -1 & -1 } [/mm] + (2-x) * [mm] \vmat{ (4-x) & 1 \\ -1 & -x } [/mm]
Da Frage ich mich welche Gestzmäßigkeit dahinter steckt?!
Darf man das immer machen? Nach dem Motto -> Zahl suchen -> Spalte und Zeile der Zahl aus der Matrix Streichen -> Zahl mal Matrix -> das für gesamte Zeile?!
Aus seiner Lsung werde ich auch nicht ganz schlau, ich komme zwar auf die gleichen Werte doch kann ich nicht nachvollziehen wie er auf folgende zeilen kommt (er hatte nur Determinateberechnung angedeutet und dann die letzten Zeilen geschrieben):
(6-3x) = 3(2-x)
(2-x) {3+(4-x)(-x)} = 0
[mm] x_{1}= [/mm] 2 [mm] x_{2} [/mm] = 1 [mm] x_{3} [/mm] = 3
Wie man aus der letzten Zeile auf die X-Werte kommt weiß ich...
Vielen Dank schonmal für die Hilfe und die Mühe!
Gruß
DerdersichSichnennt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mo 18.08.2008 | | Autor: | barsch |
Moin,
mit Hilfe der Determinante kannst du feststellen, ob ein LGS (lineares Gleichungssystem) eindeutig lösbar ist. Ein LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
In deinem Fall:
[mm] \pmat{ 4-x & 1 & 2 \\ -1 & -x & -1 \\ 0 & 2 & 2-x}*\vektor{a \\ b \\ c}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Jetzt willst du wissen für welche [mm] x\in\IR [/mm] existiert eine eindeutige Lösung.
Berechnest du jetzt [mm] det\pmat{ 4-x & 1 & 2 \\ -1 & -x & -1 \\ 0 & 2 & 2-x}=0, [/mm] so erhälst du alle [mm] x\in\IR, [/mm] für die das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, denn gilt [mm] det\pmat{ 4-x & 1 & 2 \\ -1 & -x & -1 \\ 0 & 2 & 2-x}=0, [/mm] so ist [mm] rang\pmat{ 4-x & 1 & 2 \\ -1 & -x & -1 \\ 0 & 2 & 2-x}<3 [/mm] und somit hat
[mm] \pmat{ 4-x & 1 & 2 \\ -1 & -x & -1 \\ 0 & 2 & 2-x}*\vektor{a \\ b \\ c}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] keine Lösung.
Jetzt zur unterschiedlichen Vorgehensweise bei Berechnung der Determinante. Während du die Determinante nach Sarrus berechnest (dies geht ja ausschließlich bei [mm] 3\times{3}-Matrizen), [/mm] entwickelt dein Professor die Determinante nach der 3. Zeile. Das ist die sogenannte ![[]](/images/popup.gif) LaPlace-Entwicklung.
Hierzu würde ich an deiner Stelle einmal im Skript blättern.  Wenn ihr das gleiche Ergebnis erhaltet, ist das gut. Egal, nach welchem Verfahren (Sarrus oder LaPlace) man die Determinante berechnet, erhält man in beiden Fällen ein und dasselbe Ergebnis!
Dein Prof hat:
[mm] det\A=0=\vmat{ (4-x) & 1 & 2 \\ -1 & (-x) & -1 \\ 0 & 2 & (2-x)}=-2*\vmat{ (4-x) & 2 \\ -1 & -1 }+(2-x)*\vmat{ (4-x) & 1 \\ -1 & -x }
[/mm]
Jetzt hast du noch 2 [mm] 2\times{2}-Matrizen, [/mm] für die gilt
[mm] \det A=\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] a_{11} a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} a_{21}. [/mm]
Also:
[mm] -2*\vmat{ (4-x) & 2 \\ -1 & -1 }+(2-x)*\vmat{ (4-x) & 1 \\ -1 & -x }
[/mm]
[mm] =-2\cdot{}((4-x)*(-1)-(-1)*2)+(2-x)*((4-x)*(-x)-(-1)*(1))
[/mm]
[mm] =-2*(-4+x+2)+(2-x)*(-4x+x^2+1)=-2*(-2+x)+(2-x)*(x^2-4x+1)
[/mm]
[mm] =2*(2-x)+(2-x)*(x^2-4x+1)=(2-x)*(2+x^2-4x+1)=(2-x)*(x^2-4x+3)=(2-x)*(3-x)*(1-x)=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}=2, x_{2}=1 [/mm] oder [mm] x_{3}=3.
[/mm]
Also ist das Gleichungssystem lösbar für alle [mm] x\in\IR\backslash\{2,1,3\}.
[/mm]
MfG barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 18.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich bin es noch einmal.
> Jedoch schein mit das ganze etwas zu mühselig und langwierig, wenn man da nicht so sattelfest ist! Vielleicht gibt es ja ne bessere Möglichkeit.
Ob jetzt Sarrus oder LaPlace das kleinere Übel ist, sei mal dahingestellt. Meist hat man in beiden Fällen sehr viel zu berechnen und kommt leicht durcheinander. Kommen in einer Zeile oder Spalte jedoch viele 0 vor, so kann man mit dem LaPlace-Entwicklungssatz nach genau dieser Zeile bzw. Spalte entwickeln - das bringt manchmal schon etwas.
Aber wie gesagt: Einfach mal in deinem Skript nachschlagen.
MfG barsch
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Erstmal, vielen Danke für deine schnelle und kompetente Hilfe!
Ich muss gestehen den Laplac'schen Entwicklungssatz, habe ich einfach überlesen und nicht beachtet (ich kann selten etwas mit rein mathematischen Definitionen anfangen)  . Zu meiner verteidigung muss ich sagen, dass das auch sehr dürftig in seinem skript beschrieben um nicht zu sagen, nahezu gar nicht.
MfG DerdersichSichnennt
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