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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 14.08.2012 | | Autor: | DonC |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems
[mm] $z\tilde{z}=2$
[/mm]
[mm] |z-\tilde{z}|+|z+\tilde{z}|=4 [/mm] . |
Hallo allerseits,
ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe, und zwar mit dem Ansatz $ z=a+bi $ bzw. [mm] \tilde{z}=a-bi, [/mm] komme ich bei der zweiten Gleichung auf "$|a+bi-a+bi|+|a+bi+a+bi|=4$", was zusammengefasst $|2bi|+|2a|=4 $ ergibt.
Somit habe ich folgendes GLS:
[mm] $a^{2}+b^{2}=4 [/mm] (I)$
$|2bi|+|2a|=4 (II)$
Mit $|z|= [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}$ [/mm] erhalte ich nur zwei Ergebnisse.
Wenn ich deshalb versuche das GLS durch Anwendung der Fallunterscheidung aufzulösen so erhalte ich kein richtiges Ergebnis. Für a<0 und b>0 z.B., erhalte ich nach Gleichung zwei "a=b-2i", das in die Erste eingesetz ergibt [mm] "-b^{2}+b^{2}-2bi+4=2" [/mm] und daraus folgt [mm] $b=-\frac{1}{2}i, a=-\frac{3}{2}. [/mm] Demnach müsste ich jedoch für b die imaginäre Einheit selber einsetzen, was sicherlich nicht richtig sein kann. Kann mich jemand auf meinen Denkfehler hinweisen?
Das wäre sehr nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg DonC
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Hallo,
du solltest dir einmal klarmachen, wie die beiden Gleichungen für sich in der Gaußschen Ebene jewils aussehen. Die Lösungen müssen ja genau die Elemente der Schnittmenge der beiden Figuren sein, die durch die beiden Gleichungen beschrieben sind. Zu deiner Kontrolle: es muss vier solcher Lösungen geben, sie liegen hochgradig symmetrisch.
Dein eigentlicher Denkfehler liegt darin, dass natürlich
|2bi|=|2b|=2|b| ist, da der Betrag der imaginären Einheit gleich 1 ist.
Hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 14.08.2012 | | Autor: | DonC |
Hallo Diophant,
Ich danke für die schnelle Antwort. Dein Hinweis hat mir sehr weitergeholfen. Somit habe ich in der Gaußschen Ebene ein Kreis und vier Linien, die den Kreis jeweils tangieren.
MfG DonC
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Hallo DonC
hab leider gerade keine Zeit mehr für ein Bild. Der Kreis ist richtig, es ist ein Kreis um 0 mit dem Radius r=2. Die zweite Gleichung beschreibt ein Quadrat, dessen Eckpunkte von innen an den Kreis stoßen, und zwar jeweils in dessen Schnittpunkten mit den beiden Achsen.
Man kann das auch rechnerisch relativ leicht einsehen, indem man mal die negativen Lösungen einen Moment vergisst und das Gleichungssystem
I: [mm] x^2+y^2=4
[/mm]
II: x+y=2
betrachtet. Dieses System besitzt zwei Lösungsen, die beiden anderen kann man entweder mit der Symmterie der beiden Gleichungen (Kommutatitivät der Addition) oder aber geometrisch oder durch Nachrechnen begründet.
Gruß, Diophant
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