Gleichungssystem mit Logarithm < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:07 Sa 15.01.2011 | | Autor: | mathecrack |
| Aufgabe | A, B, [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta [/mm] seien positive Zahlen, wobei [mm] \alpha [/mm] * [mm] \delta \not= \beta [/mm] * [mm] \gamma [/mm] . Berechne mit Hilfe von Logarithmen die Lösungen x, y des Gleichungssystems:
[mm] x^{\alpha}y^{\beta} [/mm] = A, [mm] x^{\gamma}y^{\delta} [/mm] = B |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt, und auf keiner anderen Internetseite.
Ich habe mir überlegt, wie ich mit meinem Schulwissen an die Aufgabe heran gegangen wäre: Erstmal hätte ich den einen Teil umgeformt nach x und dann dieses x in die zweite Gleichung eingesetzt.
Also: x = [mm] \sqrt[\alpha]{\tfrac{A}{y^{\beta}}}
[/mm]
und das dann in eingesetzt: [mm] {\sqrt[\alpha]{\tfrac{A}{y^{\beta}}}}^{\gamma}y^{\delta} [/mm] = B und weiter umgeformt nach y. Anschließend wird y dann wieder in meine x-Gleichung eingesetzt.
Das geht auch so, denke ich - aber irgendwie verwundert es mich, dass ich gar keine Logarithmen zur Lösung brauche. Ich habe schon im Internet geguckt und mich an meine Schulzeit zurück erinnert - aber man braucht doch eigentlich Logarithmen nur, wenn man Gleichungssysteme mit unbekannten Exponenten lösen will?
Was mache ich falsch? Gibt es da irgendwelche Techniken, die ich einfach nicht kenne? Durch meine Umformgeschichte wird die ganze Sache zwar ziemlich kompliziert, mit vielen Wurzeln und so - aber es müsste doch so gehen.
Ich freue mich schon auf eure Antworten! Jetzt schonmal vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Sa 15.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
[mm] x^{\alpha}y^{\beta} [/mm] = A
[mm]\ln(x^ay^b)=\ln(A)[/mm]
[mm]\ln(x^a)+ln(y^b)=\ln(A)[/mm]
[mm]a*\ln(x)+b*ln(y)=\ln(A)[/mm]
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Hallo mathecrack,
> A, B, [mm]\alpha, \beta, \gamma, \delta[/mm] seien positive Zahlen,
> wobei [mm]\alpha[/mm] * [mm]\delta \not= \beta[/mm] * [mm]\gamma[/mm] . Berechne mit
> Hilfe von Logarithmen die Lösungen x, y des
> Gleichungssystems:
>
> [mm]x^{\alpha}y^{\beta}[/mm] = A, [mm]x^{\gamma}y^{\delta}[/mm] = B
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt, und
> auf keiner anderen Internetseite.
>
> Ich habe mir überlegt, wie ich mit meinem Schulwissen an
> die Aufgabe heran gegangen wäre: Erstmal hätte ich den
> einen Teil umgeformt nach x und dann dieses x in die zweite
> Gleichung eingesetzt.
> Also: x = [mm]\sqrt[\alpha]{\tfrac{A}{y^{\beta}}}[/mm]
>
> und das dann in eingesetzt:
> [mm]{\sqrt[\alpha]{\tfrac{A}{y^{\beta}}}}^{\gamma}y^{\delta}[/mm] =
> B und weiter umgeformt nach y. Anschließend wird y dann
> wieder in meine x-Gleichung eingesetzt.
>
> Das geht auch so, denke ich - aber irgendwie verwundert es
> mich, dass ich gar keine Logarithmen zur Lösung brauche.
> Ich habe schon im Internet geguckt und mich an meine
> Schulzeit zurück erinnert - aber man braucht doch
> eigentlich Logarithmen nur, wenn man Gleichungssysteme mit
> unbekannten Exponenten lösen will?
>
Der Hinweis mit den Logarithmen, dient nur dazu,
um das nichtlineare Gleichungssystem auf ein lineares
Gleichungssystem zurückführen zu können.
> Was mache ich falsch? Gibt es da irgendwelche Techniken,
Du hast den Hinweis nicht umgesetzt.
> die ich einfach nicht kenne? Durch meine Umformgeschichte
> wird die ganze Sache zwar ziemlich kompliziert, mit vielen
> Wurzeln und so - aber es müsste doch so gehen.
>
> Ich freue mich schon auf eure Antworten! Jetzt schonmal
> vielen Dank :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 16.01.2011 | | Autor: | Erstie |
Hallo,
ich habe hier versucht die Aufgabe zu lösen:
[mm] x^{\alpha}y^{\beta}=A [/mm] nach x auflösen:
x= [mm] e^{\bruch{ln(A)-\beta*ln(y)}{\alpha}}
[/mm]
x in [mm] x^{\gamma}y^{\delta}=B [/mm] einsetzen:
y= [mm] e^{\bruch{ln(B)-\gamma*ln(e^{\bruch{ln(A)-\beta*ln(y)}{\alpha}})}{\delta}} [/mm] :=C
y in [mm] x^{\gamma} y^{\delta}=B [/mm] einsetzen:
x= [mm] e^{\bruch{ln(B)-\delta*ln(C)}{\gamma}} [/mm]
bzw. y in [mm] x^{\alpha} y^{\beta}=A [/mm] einsetzen:
x= [mm] e^{\bruch{ln(A)-\beta*ln(C)}{\alpha}} [/mm]
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 16.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich habe hier versucht die Aufgabe zu lösen:
>
>
> [mm]x^{\alpha}y^{\beta}=A[/mm] nach x auflösen:
>
> x= [mm]e^{\bruch{ln(A)-\beta*ln(y)}{\alpha}}[/mm]
>
> x in [mm]x^{\gamma}y^{\delta}=B[/mm] einsetzen:
>
> y=
> [mm]e^{\bruch{ln(B)-\gamma*ln(e^{\bruch{ln(A)-\beta*ln(y)}{\alpha}})}{\delta}}[/mm]
> :=C
>
> y in [mm]x^{\gamma} y^{\delta}=B[/mm] einsetzen:
>
> x= [mm]e^{\bruch{ln(B)-\delta*ln(C)}{\gamma}}[/mm]
>
> bzw. y in [mm]x^{\alpha} y^{\beta}=A[/mm] einsetzen:
>
> x= [mm]e^{\bruch{ln(A)-\beta*ln(C)}{\alpha}}[/mm]
>
>
> ist das so richtig?
Keine Ahnung. Das ist so grausam kompliziert, dass das Nachvollziehen Zeitverschwendung wäre.
Wenn du nicht ganz beratungsresistent bist:
Schreibe auch die zweite Gleichung so nach Logarithmen um, wie es Wieschoo schon mit der ersten Gleichung gemacht hat.
Beide Gleichungen zusammen ergeben ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten (ln x) und (ln y).
wenn du das nach gelöst hast, kannst du in einem letzten Schritt aus
ln x = ... und ln y = ...
durch "e-hoch-nehmen" x und y selbst ausdrücken.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Erstie |
Ich habe das versucht so zu lösen:
Beide Gleichungen umgeformt:
(1) [mm] \alpha [/mm] * ln(x) + [mm] \beta*ln(y) [/mm] = ln(A)
(2) [mm] \gamma [/mm] * ln(x) + [mm] \delta [/mm] * ln(y)= ln(B)
Die erste Gleichung nach ln(x) auflösen:
ln(x)= [mm] \bruch{ln(A)-\beta * ln(y)}{\alpha}
[/mm]
und dieses dann in (2) eingesetzt und nach ln(y) aufgelöst
ln(y)= [mm] \bruch{ln(B) * \alpha - ln(A)*\gamma}{\beta*\gamma} [/mm] * [mm] \bruch{2}{\delta} [/mm]
stimmt das soweit?
gruß Erstie
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Hallo Erstie,
> Ich habe das versucht so zu lösen:
>
> Beide Gleichungen umgeformt:
>
> (1) [mm]\alpha[/mm] * ln(x) + [mm]\beta*ln(y)[/mm] = ln(A)
> (2) [mm]\gamma[/mm] * ln(x) + [mm]\delta[/mm] * ln(y)= ln(B)
>
> Die erste Gleichung nach ln(x) auflösen:
> ln(x)= [mm]\bruch{ln(A)-\beta * ln(y)}{\alpha}[/mm]
>
> und dieses dann in (2) eingesetzt und nach ln(y)
> aufgelöst
> ln(y)= [mm]\bruch{ln(B) * \alpha - ln(A)*\gamma}{\beta*\gamma}[/mm]
> * [mm]\bruch{2}{\delta}[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen, denn der rot markierte Teil in
[mm]ln(y)=\bruch{ln(B) * \alpha - ln(A)*\gamma}{\red{\beta*\gamma}} * \red{\bruch{2}{\delta}}[/mm]
stimmt nicht.
>
> stimmt das soweit?
>
> gruß Erstie
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Erstie |
also, jetzt hab ich das mal überarbeitet, aber komme an einer Stelle nicht mehr weiter
ln(x) = [mm] \bruch{ln(A)-\beta \cdot{} ln(y)}{\alpha} [/mm] in (2) also: [mm] \gamma*ln(x)+\delta [/mm] * ln(y)=ln(B) einsetzen:
[mm] \gamma (\bruch{ln(A)-\beta*ln(y)}{\alpha}) [/mm] + [mm] \delta* [/mm] ln(y)= ln(B)
....
ln(y)= - [mm] \bruch{\alpha*ln(B)}{\beta*\gamma} [/mm] + [mm] \bruch{\delta*ln(y)*\alpha}{\beta*\gamma} [/mm] + [mm] \bruch{ln(A)}{\beta}
[/mm]
so, und dann erhält man, wenn man den zweiten Summanden auf die linke Seite bringt ,um ln(y) zusammenzufassen:
[mm] ln(y)-\bruch{ln(y)*\alpha*\delta}{\beta*\gamma} [/mm] = - [mm] \bruch{\alpha*ln(B)}{\beta*\gamma} [/mm] + [mm] \bruch{ln(A)}{\beta}
[/mm]
hier komm ich nicht mehr weiter. Wie komme ich auf ln(y) =....
Gruß Erstie
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I) [mm] x^{\alpha}y^{\beta} = A[/mm]
II) [mm] x^{\gamma}y^{\delta} = B[/mm]
Ia) [mm]a \ln(x)+b \ln(y)=\ln(A)[/mm]
IIa) [mm]c \ln(x)+d \ln(y)=\ln(B)[/mm]
[mm]\pmat{ a & b \\
c & d } \vektor{\ln x\\
\ln y}=\vektor{ \ln A \\
\ln B}[/mm] durch multiplikations von links mit [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
- \frac{c}{a} & 1 } [/mm] an beide Seiten[mm]\pmat{ a & b \\
0 & d-b\frac{c}{a} } \vektor{\ln x\\
\ln y}=\vektor{ \ln A \\
-\ln A\frac{c}{a}+\ln B}[/mm]
IIb) [mm]\Rightarrow (d-\frac{bc}{a})*\ln y=-\ln A*\frac{c}{a}+\ln B\gdw \blue{\ln y} = \frac{-\ln A*\frac{c}{a}+\ln B}{d-\frac{bc}{a}}=\blue{ \frac{-\ln A*c+a\ln B}{ad-bc}}[/mm]
Das existiert, da ad ungleich bc
Ib) [mm]a*\ln x + (d-\frac{bc}{a})*\left ( \frac{-\ln A*c+a\ln B}{ad-bc}\right )=\ln A[/mm]
[mm]\Rightarrow \blue{ln(x)=\frac{\ln (A)+\frac{d+\frac{bc}{a}*\left ( c\ln A+a\ln B\right )}{ad-bc}}{a}}[/mm]
Ich hoffe, dass ich mich nicht ganz verrechnet habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Do 20.01.2011 | | Autor: | Erstie |
Vielen Dank für die Antwort =)
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