Gleichungssystem mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Fr 25.10.2013 | | Autor: | qwer1234 |
| Aufgabe | Für welche a€R hat das lineare Gleichungssystem
1. (a+1)x + [mm] (-a^2+6a-9)y [/mm] + (a-2)z = 1
2. [mm] (a^2-2a-3)x [/mm] + [mm] (a^2-6a+9)y [/mm] + 3z = a-3
3. (a+1)x + [mm] (-a^2+6a-9)y [/mm] + (a+1)z = 1
keine, genau eine, mehr als eine Lösung? |
Hallo,
ich habe einige Fragen zu dieser Aufgabe und hoffe auf eure Hilfe :)
Meine Lösung wäre:
LGS keine Lösung: a = -1
LGS eindeutig Lösbar für alle a€R ohne -1
LGS mit mehr als eine Lösung: leere Menge
Nach Gauß Algorithmus habe ich für x = 1/(a+1) und y=z=0 raus.
Ist das richtig?
Weil ich mir nicht so mit y=0 sicher bin zumindest für alle a, denn nachdem ich z=0 rausgekriegt habe und in der zweiten Gleichung x eleminiert habe, habe ich folgendes rausbekommen (z wurde eingesertzt):
2´. [mm] (a^4-7a^3+13a^2+3a-18)y [/mm] = 0
[Ko := [mm] (a^4-7a^3+13a^2+3a-18)]
[/mm]
Wenn der Ko jetzt null wäre (für alle a|a€{-1,2,3}) dann müsste doch y€R sein und nicht Null und somit x anders aussehen bzw. y wäre dann 0/Ko und wenn der Ko 0 wird, dann ist das Lgs für diese a nich lösbar (hier bin ich bishen verwirrt).
Mit meiner Lösung ist das LGS aber trotzdem Lösbar (auch für a=2;3)
Muss man hier einen Fallunterschied machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Fr 25.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast doch:
[mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y+(a-2)z=1\\(a^2-2a-3)x+(a^2-6a+9)y+3z=a-3\\(a+1)x+(-a^2+6a-9)y+(a+1)z=1\end{vmatrix}
[/mm]
Gleichung I-Gleichung III und Gleichung II ein wenig umformen
[mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y+(a-2)z=1\\(a^2-2a-3)x-(-a^2+6a-9)y+3z=a-3\\((a-1)-(a+1))z=0\end{vmatrix}
[/mm]
Gleichung III umformen
[mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y+(a-2)z=1\\(a^2-2a-3)x-(-a^2+6a-9)y+3z=a-3\\-3z=0\end{vmatrix}
[/mm]
Aus Gleichung III folgt nun, unabhängig von a, dass z=0, damit vereinfacht sich das System zu
[mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y=1\\(a^2-2a-3)x-(-a^2+6a-9)y=a-3\\-3z=0\end{vmatrix}
[/mm]
Addiere nun Gleichung I und II, dann hast du
[mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y=1\\((a^2-2a-3)+(a+1))x=a-2\\-3z=0\end{vmatrix}
[/mm]
Gleichung II vereinfachen
[mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y=1\\(a^2-a-2)x=a-2\\-3z=0\end{vmatrix}
[/mm]
Nun aus Gleichung II y berechnen, dabei musst du ja durch [mm] (a^{2}-a-2) [/mm] teilen, untersuche also die Fälle, bei denen [mm] a^{2}-a-2=0 [/mm] gesondert, ansonsten ergibt sich
[mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y=1\\x=\frac{a-2}{a^{2}-a-2}\\-3z=0\end{vmatrix}
[/mm]
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:10 Fr 25.10.2013 | | Autor: | qwer1234 |
Danke erstmal.
Ich habe erstmal hier:
$ [mm] \begin{vmatrix}(a+1)x+(-a^2+6a-9)y=1\\x=\frac{a-2}{a^{2}-a-2}\\-3z=0\end{vmatrix} [/mm] $
alles untersucht und habe für a = -1 -> LGS unlösbar
und a = 2 -> LGS hat mehrere Lösungen, da es zu einer 0=0 Zeile kommt. Nach Einsetzen von x in Gleichung 1 habe ich für y folgendes raus: a = 3 -> mehrere Lösungen da es wieder zu einer Nullzeile kommt und für a ungleich 3 -> y = 0.
Mich interessiert es ob das richtig ist für a=3 oder 2 -> LGS hat mehrere Lösungen bzw. für welche a hat das LGS jetzt genau eine oder mehrere Lösungen und muss man jetzt bei den Nullzeilen noch für x bzw. y Parameter einsetzen oder verlangt diese Aufgabe das garnicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Fr 25.10.2013 | | Autor: | abakus |
Hallo,
das Gaußverfahren ist ja schön und gut, aber hier geht auch ohne dieses starre Schema.
(Einige der Terme mit a lassen sich zudem faktorisieren.)
Die Gleichungen 1 und 3 sind fast identisch.
Die Differenz (3)-(1) ergibt 3z=0, also z=0.
Damit vereinfachen sich (1) und (2) zu
(1) (a+1)x-[mm](a-3)^2[/mm]y = 1
(2) (a+1)(a-3)x+[mm](a-3)^2[/mm]y = (a-3)
Addition beider Gleichungen führt zu
(a-1)(1+(a-3))x=a-2, aslo
(a-1)(a-2)x=a-2.
Wenn a weder 1 noch 2 ist, gilt x=1/(a-1), und y kann noch errechnet werden.
(Darin steckt noch eine Tücke!!!)
Wenn a=1 ist, gilt (a-1)(a-2)x=a-2 für kein x.
Wenn a=2 ist, wird Gleichung (1) zu
3x-y=1,
und (2) wird zu
-3x+y=-1 (was eigentlich das Gleiche wie (1) ist.
Kommst du damit weiter?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 25.10.2013 | | Autor: | qwer1234 |
Die beiden Gleichungen sind dann identisch, man kann doch eine Variable als Parameter nehmen und danach auflösen, sodass entweder y oder x (kommt daraufan was man als Parameter nimmt) vom Parameter abhängt? Oder ist das Falsch?
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Hallo qwer,
> Die beiden Gleichungen sind dann identisch, man kann doch
> eine Variable als Parameter nehmen und danach auflösen,
> sodass entweder y oder x (kommt daraufan was man als
> Parameter nimmt) vom Parameter abhängt? Oder ist das
> Falsch?
Das ist richtig.
Bist Du sicher, dass Du ansonsten wirklich alle Fälle untersucht hast? Was ist mit a=2?
Grüße
reverend
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