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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:39 Mo 20.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Man bestimme alle Paare (x,y) reeller Zahlen, die das Gleichungsystem
I [mm] \wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y} [/mm]
II [mm] x^2 - y^2 = 144 [/mm]
erfüllen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:56 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi
Ich bin mir nicht ganz sicher ob meine Antwort stimmt, da sie mir ziehmlich einfach (fast zu einfach ?!) erscheint.
Quadriert man beide Seiten von I so erhält man:
[mm] (x+y) -2(\wurzel{(x+y)(x-y)}+(x-y) =y [/mm]
Dies vereinfacht man und setzt II ein.
[mm] \gdw 2x - \wurzel {x^2-y^2} =y \gdw y=2x-24 [/mm] III
D.h. nun, dass Zahlenpaare, die I und II lösen auch III lösen(umgekehr gilt das nicht zwangsläufig).
Nun was den Deffinitionsbereich des ursprünglichen Systems angeht, gilt: [mm] D={x;y \in R^+|x \ge y }[/mm]
Prüfen wir nun für welche Lösungen der Form y=2x-24 II gilt:
[mm]x^2-(2x-24)^2=x^2-(4x^2-48x+576) \gdw -3x^2+48x-576[/mm] IV
stellt man sich IV als Funktion vor, so beschreibt ihr Graph eine nach unten geöffnete Parabel. Als Nullsellen ergeben sich:
[mm]x_{1/2}=\bruch{-48 \pm \wurzel{48^2-4*3*576}}{-6}=\bruch{-48 \pm \wurzel{-4608}}{-6}[/mm]
Wegen der neg. Diskriminante kann es keine Reelen Nullstellen geben.
D.h. für alle x-Werte ist [mm]y<0[/mm] und somit [mm]y \not\in D[/mm] und daher kann das GLS keine reele Lösung haben!
I [mm]\wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y}[/mm]
II [mm]x^2 - y^2 = 144[/mm]
[mm] L= \emptyset [/mm]
Hoffentlich hab ich diesmal ein richtige Lösung gepostet
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich Samuel.
Du hast einen kleinen Fehler beim Ausmultiplizieren begangen:
[mm] $(2x-24)^2=4x^2-96+576$
[/mm]
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mo 20.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo Teletubby,
ich habe probiert deine Lösung in II einzusetzen, komme jedoch auf eine falsche Aussage. Meine beiden Lösungen sehen ganz anders aus.
mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
hi Zwieback86
Hast du ne Ahnung, was ich falsch gemacht hab (außer dass ich meine Lösung nur für I und nicht für II geprüft habe).
1. habe ich bewiesen, dass alle Lösungen die Form (x|2x-24) haben
2. habe ich den Deffinitionsbereich von x auf [mm] x \in [12;24][/mm] eingeschränkt.
3. und schließlich y=2x-24 in I eingesetzt und dann nach der x aufgelöst.
Könntest du mir sagen, inwiefern deine Lösungen meinen Aussagen wiedersprechen(z.B: ist bei dir y=2x-24 oder ähnliches). Oder habe ich mich blos mal wieder verrechnet???
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mo 20.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
HI Samuel,
Ich kann dir nciht direkt sagen was du falsch gemacht hast, muss mir dein Artikel nochmal genauer durchlesen, auf jedenfall stimmt die Gleichung y=2x-24. Da meine beiden Lösungen einen war AUssage beim einsetzen ergeben. ICh werde nochmals lesen..
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Hallo.
> Man bestimme alle Paare (x,y) reeller Zahlen, die das
> Gleichungsystem
>
> I [mm]\wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y}[/mm]
> II [mm]x^2 - y^2 = 144[/mm]
[mm]\wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y}[/mm]
[mm]x+y+x-y-2*\wurzel{x^2-y^2} = y[/mm]
[mm]-2*\wurzel{x^2-y^2} = y-2x[/mm]
[mm]x-\frac{y}{2} = \wurzel{x^2-y^2}[/mm]
Aus II folgt:
[mm]x-\frac{y}{2} = 12[/mm]
[mm]x = \frac{y}{2}+12[/mm]
Eingesetzt in II ergibt sich
[mm](12+\frac{y}{2})^2 - y^2 = 144[/mm]
[mm]144+12*y+\frac{y^2}{4}-y^2 = 144[/mm]
[mm]y*(-\frac{3}{4}y+12) = 0[/mm]
[mm]y_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 12[/mm]
[mm]-\frac{3}{4}y+12 = 0[/mm]
[mm]y_2 = 16 \Rightarrow x_2 = 20[/mm]
So, mehr Lösungen hab ich nicht...
MfG
Jan
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Hallo KaiAhnung,
ich habe die selben Ergebnisse raus, doch woher wissen wir nun, dass es alle Ergebnisse sind die das Gleichungssystem erfüllen?
Wie kann man sowas prüfen, bin mir nämlich nicht sicher.
mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Di 21.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zwieback86!
Das sind auf jeden Fall alle Lösungen, weil Jan in jedem Schritt eine Folgerung gezogen hat, also notwendige Bedingungen an $x$ und $y$ hergeleitet hat. Die Frage ist, ob es aber auch tatsächlich Lösungen sind, ob die Bedingungen also auch hinreichend sind. Dies sieht man aber durch einfaches Einsetzen.
Die Aufgabe ist gelöst. ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") , Jan und zwieback86!!!
Liebe Grüße
Stefan
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![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]"){kind=small}
zu tun haben würde!!! Und was die Tippfehler angeht, das wird sich auch noch bessern 
