Gleichungsystem bei Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Materno |
| Aufgabe | Ermitteln Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens mögliche Extrema:
[mm] f(x,y)=x^2+y^2, [/mm] Nebenbedingung: [mm] x^2+xy+y^2-3 [/mm] |
Moin,
wie in der Frage beschrieben, soll ich mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens mögliche Extrema finden.
Dazu hab ich die Lagrangefunktion aufgestellt, wobei p hier nun mal der Lagrange Multiplikator sei:
L(x,y,p) = [mm] x^2+y^2-p*(x^2+xy+y^2-3)
[/mm]
Dann hab ich das Ganze aufgelöst:
= [mm] x^2+y^2-px^2+pxy+py^2-3
[/mm]
Daraufhin entsprechen die partitiellen Ableitungen ersten Grades erstellt:
L'x(x,y,p)=2x-2px+py
L'y(x,y,p)=2y+px+2py
Und damit komme ich nun auf folgendes Gleichungssystem:
[mm] \vmat{ 2x - 2py + py = 0 \\ 2y * px + 2py = 0 \\ x^2 +xy +y^2 = 3 }
[/mm]
Nun finde ich aber keine Möglichkeit aus diesem Gebilde irgendwie die drei Unbekannten zu berechnen. Dazu sei gesagt, dass das Lösen von Gleichungssystemen absolut nicht zu meinen Stärken gehört.
Könnt ihr mir da vielleicht etwas auf die Sprünge helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Materno,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2,[/mm] Nebenbedingung: [mm]x^2+xy+y^2-3[/mm]
Hm, fehlt hier nicht noch etwas bei der Nebenbedingung wie z.B. [mm]x^2+x*y+y^2-3 \ \red{= \ 0}[/mm] ?
> Dazu hab ich die Lagrangefunktion aufgestellt, wobei p hier
> nun mal der Lagrange Multiplikator sei:
> L(x,y,p) = [mm]x^2+y^2-p*(x^2+xy+y^2-3)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann hab ich das Ganze aufgelöst:
> = [mm]x^2+y^2-px^2+pxy+py^2-3[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du schlampig ausmultipliziert. Du musst die Vorzeichen beachten / umdrehen durch den Faktor [mm] $\red{-}p$ [/mm] und auch die $3_$ freut sich über ein $p_$ .
> Daraufhin entsprechen die partitiellen Ableitungen ersten
> Grades erstellt:
>
> L'x(x,y,p)=2x-2px+py
> L'y(x,y,p)=2y+px+2py
Diese Ableitungen stimmen nicht durch den Fehler oben beim Ausmultiplizieren.
Aber auch so bist Du hier schlampig und unkonzentriert vorgegangen.
> Und damit komme ich nun auf folgendes Gleichungssystem:
>
> [mm]\vmat{ 2x - 2py + py = 0 \\
2y * px + 2py = 0 \\
x^2 +xy +y^2 = 3 }[/mm]
Korrigiere mal zunächst die pertiellen Ableitungen und schreibe dann auch im Gleichungssystem sauber auf.
Dann kannst Du z.B die ersten beiden Gleichungen voneinander subtrahieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Materno |
> Hm, fehlt hier nicht noch etwas bei der Nebenbedingung wie
> z.B. [mm]x^2+x*y+y^2-3 \ \red{= \ 0}[/mm] ?
Das hab ich nur auf meinem Zettel falsch geguckt. Die Nebenbedingung ist [mm] x^2-xy+y^2=3, [/mm] ich hab also quasi da schon die 3 für die Lagrangefunktion abgezogen.
> Hier hast Du schlampig ausmultipliziert. Du musst
> die Vorzeichen beachten / umdrehen durch den Faktor
> [mm]\red{-}p[/mm] und auch die [mm]3_[/mm] freut sich über ein [mm]p_[/mm] .
Da hast du Recht, das war ja mal n sau blöder Fehler.
Dann dürfte die Lagrange Funktion so aussehen:
[mm] L(x,y)=x^2+y^2-p*(x^2-xy+y^2-3)
[/mm]
= [mm] x^2+y^2-px^2+pxy-py^2+3p
[/mm]
Aufbauend die beiden Ableitungen entsprechend so:
L'x(x,y,p)=2x-2px+py
L'y(x,y,p)=2y+px-2py
Und das Gleichungssystem dann wie folgt:
[mm] \vmat{ 2x-2px+py=0 \\ 2y+px-2py=0 \\ x^2-xy+y^2=3}
[/mm]
So weit richtig?
Wenn ja: Wie kann ich denn da sinnvoll die ersten beiden Gleichungen voneinander abziehen? Ich kann, so wie ich das sehe, kann ich entweder einen der mittleren Teile auf 0 bringen, oder einen der hinteren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Materno |
Huch, ich hatte vergessen die Fälligkeit noch wieder anzupassen. Ich dachte die bleibt bestehen.
Hab sie also nun nochmal angepasst, aktueller Stand steht oben.
Danke für die Hilfe schonmal!
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Hallo Materno,
> > Hm, fehlt hier nicht noch etwas bei der Nebenbedingung wie
> > z.B. [mm]x^2+x*y+y^2-3 \ \red{= \ 0}[/mm] ?
>
> Das hab ich nur auf meinem Zettel falsch geguckt. Die
> Nebenbedingung ist [mm]x^2-xy+y^2=3,[/mm] ich hab also quasi da
> schon die 3 für die Lagrangefunktion abgezogen.
>
>
> > Hier hast Du schlampig ausmultipliziert. Du musst
> > die Vorzeichen beachten / umdrehen durch den Faktor
> > [mm]\red{-}p[/mm] und auch die [mm]3_[/mm] freut sich über ein [mm]p_[/mm] .
>
>
> Da hast du Recht, das war ja mal n sau blöder Fehler.
> Dann dürfte die Lagrange Funktion so aussehen:
>
> [mm]L(x,y)=x^2+y^2-p*(x^2-xy+y^2-3)[/mm]
> = [mm]x^2+y^2-px^2+pxy-py^2+3p[/mm]
>
> Aufbauend die beiden Ableitungen entsprechend so:
>
> L'x(x,y,p)=2x-2px+py
> L'y(x,y,p)=2y+px-2py
>
> Und das Gleichungssystem dann wie folgt:
>
> [mm]\vmat{ 2x-2px+py=0 \\ 2y+px-2py=0 \\ x^2-xy+y^2=3}[/mm]
>
> So weit richtig?
>
Ja.
> Wenn ja: Wie kann ich denn da sinnvoll die ersten beiden
> Gleichungen voneinander abziehen? Ich kann, so wie ich das
> sehe, kann ich entweder einen der mittleren Teile auf 0
> bringen, oder einen der hinteren.
>
Du kannst die erste Gleichung nach auflösen
und diese in die zweite Gleichung einsetzen und
datraus dann irgendwelche Gälle zusammenbasteln.
Für diese Fälle werden dann die Lösungen bestimmt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Materno |
Schonmal danke für die Antwort!
Nach was kann ich die erste Gleichung auflösen?
Da ist wohl irgendwas in dem Text verloren gegangen!
Was ich auflösungstechnisch so sehen würde, könnte ich die erste nach P auflösen, das p dann in die zweite einsetzen, nach x oder y auflösen und das wiederum in die letzte Gleichung einsetzen um letztendlich irgendwie auf ein x oder ein y zu kommen.
Aber dann wäre die letzte Gleichung doch eine verdammt lange Gleichung.
Geht das nicht auch irgendwie komfortabler?
Ich hatte nochmal ein wenig mit WolframAlpha rumgespielt.
Da hab ich dann quasi die zweite Gleichung von der Ersten abgezogen und komme auf:
-3px+3py+2x-2y=0
Und das konnte ich umformen in (3p-2)(y-x), wobei ich da sagen muss, auf diese Umformung wäre ich so direkt nicht gekommen.
Auf jeden Fall kann ich dann durch jeweils eine komplette Klamer teilen und weiß schonmal, dass x=y gilt und [mm] p=\bruch{2}{3} [/mm]
Das p müsste auch stimmen, das hat mir WolframAlpha auch direkt rausgeworden. Aber irgendwie komm ich bei allem weiteren nicht auf die gleichen Werte.
Und dazu kommt das Problem, dass ich auf diese Umformung in einer Klausur nicht gekommen wäre. Gibts da nicht irgendwie noch eine etwas einfachere Möglichkeit?
Danke nochmal!
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$ [mm] \vmat{ I.& 2x-2px+py=0 \\ II. &2y+px-2py=0 \\III.& x^2-xy+y^2=3} [/mm] $
> Was ich auflösungstechnisch so sehen würde, könnte ich
> die erste nach P auflösen, das p dann in die zweite
> einsetzen, nach x oder y auflösen und das wiederum in die
> letzte Gleichung einsetzen um letztendlich irgendwie auf
> ein x oder ein y zu kommen.
>
> Aber dann wäre die letzte Gleichung doch eine verdammt
> lange Gleichung.
Hallo,
.
Schade, daß Du nur eine Rechengeschichte erzählst und nicht vormachst, was Du tust.
So sehen wir weder, ob Du irgendwelche Fehler beim Umformen machst, und zu der letzten Gleichung können wir auch wenig sagen, weil wir sie nicht sehen.
> Geht das nicht auch irgendwie komfortabler?
In meinen Augen ist das zum jetzigen Zeitpunkt die falsche Frage.
Wichtig ist es, anzufangen, und den eingeschlagenen Weg ohne Schlampereien durchzuziehen.
Mit dem Grübeln nach dem bequemsten Weg kann man machmal viel Zeit verlieren und sich am Beginnen hindern.
Fangen wir doch einfach mal an:
I. 2x-2px+py=0 <==> 2x=p(2x-y)
1. Fall:
Für [mm] 2x\not=y [/mm] bekommt man [mm] p=\bruch{2x}{2x-y}
[/mm]
2.Fall: für 2x=y erhält man x=0.
Diese beiden Fälle sind nun völlig getrennt weiter zu untersuchen.
>
> Ich hatte nochmal ein wenig mit WolframAlpha rumgespielt.
>
> Da hab ich dann quasi die zweite Gleichung von der Ersten
> abgezogen und komme auf:
>
> -3px+3py+2x-2y=0
Dann hast Du also das Gleichungssystem
[mm] \vmat{ I'.& -3px+3py+2x-2y=0
\\ II''. &2y+px-2py=0 \\III.& x^2-xy+y^2=3}
[/mm]
zu untersuchen.
>
> Und das konnte ich umformen in (3p-2)(y-x),
Nein. Völlig falsch!
Man kann die Gleichung umformen in [mm] (3p-2)(y-x)\red{=0}.
[/mm]
> wobei ich da
> sagen muss, auf diese Umformung wäre ich so direkt nicht
> gekommen.
Tja...
Aber auf die Idee, mal 3p auszuklammern und die 2 auszuklammern, wärst Du vielleicht gekommen. Wenn man das hat, ist es bis zu der Gleichung, die Dir Wolfram geschenkt hat, nicht weit.
Oder vielleicht hättest Du mal x und y ausgeklammert, dann wärst Du auch dort gelandet.
>
> Auf jeden Fall kann ich dann durch jeweils eine komplette
> Klamer teilen und weiß schonmal, dass x=y gilt und
> [mm]p=\bruch{2}{3}[/mm]
Nein.
Aus (3p-2)(y-x)=0 folgt, daß
[mm] p=\bruch{2}{3} [/mm] oder x=y.
Diese beiden Fälle müßtest Du nun getrennt untersuchen.
>
> Das p müsste auch stimmen, das hat mir WolframAlpha auch
> direkt rausgeworden. Aber irgendwie komm ich bei allem
> weiteren nicht auf die gleichen Werte.
Hm.
Da Du nur erzählst und nicht vorrechnest, kann man dazu wenig sagen.
>
> Und dazu kommt das Problem, dass ich auf diese Umformung in
> einer Klausur nicht gekommen wäre. Gibts da nicht
> irgendwie noch eine etwas einfachere Möglichkeit?
K.A.
Ich find den von Dir vorgestellten Weg eigentlich schon ganz neckisch...
Es nützen Dir auch einfache Möglichkeiten nichts, wenn sie Dir in der Klausur nicht einfallen.
Ich find's immer wichtig, erstmal mit den Ideen, die man selbst hat, zum Ziel zu kommen.
Danach denn bessere oder andere Wege anschauen, bzw. nicht anschauen, sondern durchrechnen. So bekommt man Übung und Erfahrung. Das ist's, was man braucht, um schnell zum Ziel zu kommen.
LG Angela
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