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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 So 26.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Matrizen X und Y, die das folgende Gleichungssystem erfüllen:
[mm] XA + BY + C = 0[/mm]
[mm] AX - Y + 3B = 0 [/mm]
mit [mm] A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }; B = \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 0 }; c = \pmat{ -3 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm]
Lösung: [mm] X = \pmat{ \lambda + 3 & \bruch{1}{2} \\ 0 & 1 }; Y = \pmat{ \lambda & \bruch{1}{2} \\ 0 & -1 } [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich daran gehen soll, mit nach X oder Y auflösen und einsetzten hat es nicht funktioniert.
Nach X aufgelöst:
[mm]A^{-1} * (Y-3B) = (-BY-C) * A^{-1} [/mm]
Nach Y aufgelöst:
[mm]B^{-1} * ( XA+C) = AX+3B[/mm]
Wie kommt das [mm] \lambda [/mm] überhaupt in die Gleichung (aus dem Ergebnis) oder wie bestimme ich hier den Rang das Gleichungssystems um zu wissen das ich ein [mm] \lambda [/mm] einsetzten kann ?
Danke
Grüße
Lars
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Hallo Lars,
> Ermitteln Sie die Matrizen X und Y, die das folgende
> Gleichungssystem erfüllen:
> [mm]XA + BY + C = 0[/mm]
> [mm]AX - Y + 3B = 0[/mm]
Also ich habe das GLS jetzt mal nach [mm]Y[/mm] aufgelöst:
[mm]\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{array}{l@{\;}l}
{}&AX = Y - 3B\\
\Leftrightarrow&X = A^{-1}(Y-3B)\\
\Rightarrow&A^{-1}(Y-3B)A+BY=-C\\
\Leftrightarrow&A^{-1}YA - A^{-1}3BA + BY = -C\\
\Leftrightarrow&A^{-1}YA + BY = A^{-1}3BA-C\\
\Leftrightarrow&\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix}y_1&y_2\\y_3&y_4\end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)+\left(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix}y_1&y_2\\y_3&y_4\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\0&-1\end{smallmatrix}\right)\\
\Leftrightarrow&\left(\begin{smallmatrix}0&-2y_2\\-y_3&y_4\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\0&-1\end{smallmatrix}\right)
\end{array}[/mm]
[mm]\Rightarrow y_2 = \tfrac{1}{2},\ y_3 = 0,\ y_4 = -1[/mm]
[mm]y_1[/mm] ist frei wählbar, also setzen wir doch [mm]\lambda := y_1[/mm].
Du kannst jetzt mal versuchen [mm]X[/mm] zu berechnen.
Viele Grüße
Karl
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