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| Aufgabe | | Seien [mm] W_{1},...,W_{n} [/mm] unabhängige und gleichverteilte Zufallsvariablen auf [0;1]. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass [mm] W_{1} [/mm] unter den k-größten Zufallsvariablen liegt. |
hallo,
ich suche dafür eine möglichst "schöne" Formel. Gefühlsmäßig würde ich sagen, dass es [mm] \bruch{k}{n} [/mm] sein muss.
Überlegt habe ich mir folgenden Ansatz unter Berücksichtigung der Gleichverteilung:
Sei [mm] W_{1} [/mm] = x. Dann müssen mindestens k Zufallsvariabeln größer sein. Die Wskt. dafür ist 1 - x. Sei Z Anzahl der Zufallsvariablen, die größer sind als [mm] W_{1}:
[/mm]
[mm] $P_{n}(Z \le [/mm] k-1) = [mm] \summe_{i=0}^{k-1} \vektor{n-1 \\ i} (1-x)^{i} x^{n-i}$
[/mm]
x würde ich jetzt über [0;1] integrieren:
[mm] $\integral_{0}^{1}{\summe_{i=0}^{k-1} \vektor{n-1 \\ i} (1-x)^{i} x^{n-i} dx} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{k-1} \vektor{n-1 \\ i} \integral_{0}^{1}{(1-x)^{i} x^{n-i} dx}$, [/mm] ab hier habe ich den Ansatz aber nicht mehr vereinfachen können.
Anderer Ansatz, einfach als Laplace - Experiment:
Die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] W_{1} [/mm] unter den k-größten Zahlen liegt, ist dieselbe, wie Verteilung von [mm] W_{1} [/mm] auf k Plätze und die anderen beliebig:
[mm] $\bruch{k (n-1)!}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n}$
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher, ob man das machen darf und wenn ja, warum?
Kann mir da jemand weiterhelfen oder eine Idee für den oberen Ansatz geben? Danke
Gruß Julian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 07.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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