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Hi,
kann eine leere Menge gleichzeitig reflexiv und irreflexiv sein oder ist eher das Gegenteil der Fall und sie ist weder noch?
warum ich drauf komm: https://www.youtube.com/watch?v=BFqFAA34cpc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mo 03.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sinnlos123!
Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl
reflexiv als auch irreflexiv.
Die Art des Gegensatzes von reflexiv und irreflexiv ist konträr
aber nicht kontradiktorisch, denn es gibt auch Relationen, die
weder reflexiv noch irreflexiv sind.
Quelle: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Di 04.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> kann eine leere Menge gleichzeitig reflexiv und irreflexiv
> sein
Du meinst sicher: " kann eine Relation auf der leeren Menge gleichzeitig reflexiv und irreflexiv sein ?"
> oder ist eher das Gegenteil der Fall und sie ist weder
> noch?
>
> warum ich drauf komm:
> https://www.youtube.com/watch?v=BFqFAA34cpc
Du musst Dir doch nur die Definitionen zur Brust nehmen:
1. Ist M eine Menge und R eine Teilmenge des kartesichen Produkts $M [mm] \times [/mm] M$, so heißt R eine (zweistellige) Relation.
2. R heißt reflexiv, wenn für jedes x [mm] \in [/mm] M gilt: (x,x) [mm] \in [/mm] R.
3. R heißt irreflexiv, wenn für kein x [mm] \in [/mm] M gilt: (x,x) [mm] \in [/mm] R.
Ist nun $ M= [mm] \emptyset$ [/mm] und R eine Relation auf M , so ist natürlich auch [mm] $R=\emptyset$.
[/mm]
Nun testen wir das ganze einmal:
Angenomen, R wäre nicht reflexiv. Dann gäbe es ein $x [mm] \in \emptyset$ [/mm] mit der Eigenschaft $(x,x) [mm] \notin [/mm] R$.
Da "$x [mm] \in \emptyset$" [/mm] totaler Quark ist, haben wir einen Widerspruch. R ist also reflexiv.
Angenomen, R wäre nicht irreflexiv. Dann gäbe es ein $x [mm] \in \emptyset$ [/mm] mit der Eigenschaft $(x,x) [mm] \in [/mm] R$.
Da "$x [mm] \in \emptyset$" [/mm] wieder totaler Quark ist, haben wir wieder einen Widerspruch. R ist also irreflexiv.
So, nun versuche Du mal, folgendes zu zeigen: ist R eine reflexive und irreflexive Relation auf einer Menge M, so muss M= [mm] \emptyset [/mm] sein.
FRED
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z.z.: ist R eine reflexive und irreflexive Relation auf einer Menge M, so muss M= $ [mm] \emptyset [/mm] $ sein.
R [mm] \subseteq [/mm] MxM
R ist reflexiv [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: (x,x) [mm] \in [/mm] R
R ist irreflexiv [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: (x,x) [mm] \not\in [/mm] R
R ist reflexiv und irreflexiv
[mm] \gdw (\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: (x,x) [mm] \in [/mm] R) [mm] \wedge (\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: (x,x) [mm] \not\in [/mm] R)
[mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: (x,x) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (x,x) [mm] \not\in [/mm] R
[mm] \gdw M=\emptyset
[/mm]
denn kein x in M erfüllt diese Bedingung.
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 19.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> z.z.: ist R eine reflexive und irreflexive Relation auf
> einer Menge M, so muss M= [mm]\emptyset[/mm] sein.
>
> R [mm]\subseteq[/mm] MxM
> R ist reflexiv [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: (x,x) [mm]\in[/mm] R
> R ist irreflexiv [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: (x,x) [mm]\not\in[/mm] R
> R ist reflexiv und irreflexiv
> [mm]\gdw (\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: (x,x) [mm]\in[/mm] R) [mm]\wedge (\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> M: (x,x) [mm]\not\in[/mm] R)
> [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: (x,x) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (x,x) [mm]\not\in[/mm] R
> [mm]\gdw M=\emptyset[/mm]
> denn kein x in M erfüllt diese
> Bedingung.
Der letzte Schritt ist ein bisschen schwammig, du meinst aber das Richtige, nämlich dass kein x die beiden Bedingungen [mm] (x,x)\in\IR [/mm] und [mm] (x,x)\notin\IR [/mm] gleichzeitig erfüllen kann, daher musst du eine Menge angebebn, die keon Element enthält, und das ist eben die leere Menge.
Marius
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Muss ich also als vorletzte Zeile schreiben:
[mm] \not\exists [/mm] x: (x,x) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (x,x) [mm] \not\in [/mm] R
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Fr 19.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
> Muss ich also als vorletzte Zeile schreiben:
> [mm]\not\exists[/mm] x: (x,x) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (x,x) [mm]\not\in[/mm] R
> ?
>
Wenn du es unbedingt so formal notieren willst, ist das durchaus ok.
Aber es darf auch mal ein bisschen "Erklärtext" im Beweis stehen, von daher kannst du das auch in Worte fassen.
Marius
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Ja, ok.
Ich wollte halt nur wissen, ob die Zeile korrekt "übersetzt" ist.
Wenn es also darauf hinausläuft, dass x entgegengesetzte Bedingungen nicht erfüllen kann, kann man dann (auch wenn es nichts bringt) schreiben:
...
[mm] $\forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M: (x,x) $ [mm] \in [/mm] $ R $ [mm] \wedge [/mm] $ (x,x) $ [mm] \not\in [/mm] $ R
[mm] \gdw [/mm] x=1 [mm] \wedge [/mm] x=0
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt kein x, dass das erfüllt
...
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Fr 19.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ja, ok.
>
> Ich wollte halt nur wissen, ob die Zeile korrekt
> "übersetzt" ist.
>
> Wenn es also darauf hinausläuft, dass x entgegengesetzte
> Bedingungen nicht erfüllen kann, kann man dann (auch wenn
> es nichts bringt) schreiben:
>
> ...
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: (x,x) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (x,x) [mm]\not\in[/mm] R
> [mm]\gdw[/mm] x=1 [mm]\wedge[/mm] x=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt kein x, dass das erfüllt
Die Zeile [mm] $x=1\vee [/mm] x=0$ solltest du dazwischen weglassen.
Marius
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