Glm-stetig / Lipschitzstetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 14.03.2008 | | Autor: | cauchy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe die Frage, wo der Unterschied zwischen gleichmäßiger Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit besteht!
Die gleichmäßige Stetigkeit wurde in unserer Vorlesung (Analysis II) wie folgt definiert:
Sei f: D [mm] \to \IC [/mm] mit D [mm] \subseteq \IC.
[/mm]
f heißt gleichmäßig stetig in D, wenn gilt:
[mm] $\forall \varepsilon>0$ $\exists \delta>0$ $\forall x,x_0 \in [/mm] D, [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] : [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon
[/mm]
Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet doch, dass man ein universelles Delta und ein universelles Epsilon findet, oder?
Da wir auch den Satz hatten, dass stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall [a,b] gleichmäßig stetig sind, verstehe ich unter gleichmäßiger Stetigkeit anschaulich, dass die Steigung des Graphen beschränkt ist...
Die Lipschitzstetigkeit wurde in unserer Vorlesung so definiert:
Sei f: [mm] D\subseteq [/mm] V [mm] \to [/mm] W derart, dass gilt:
[mm] $\exists [/mm] L [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\forall x,y\in [/mm] D$ : [mm] ||f(x)-f(y)||_W \le L||x-y||_V.
[/mm]
Dann ist f stetig in D. Eine solche Funktion f heißt lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L.
So, mein Problem ist: Für mich bedeutet Lipschitzstetigkeit das gleiche wie gleichmäßige Stetigkeit: Die Steigung ist beschränkt!
Dass die beiden auf jeden Fall etwas miteinander zu tun haben, habe ich auf einer Internetseite gefunden, dort steht:
f: D [mm] \to \IR [/mm] heißt Lipschitz-stetig (mit Lipschitz Konstante L [mm] \ge [/mm] 0), wenn für alle s,t [mm] \in [/mm] D gilt:
|f(s)-f(t)| [mm] \le [/mm] L|s-t|
[mm] \red{\mbox{Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und somit insbesondere stetig}}
[/mm]
Vielleicht kann mir jemand auch Beispiele von Funktionen nennen, die gleichmäßig- aber nicht lipschitzstetig sind?
VG, cauchy ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Fr 14.03.2008 | | Autor: | SEcki |
> Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet doch, dass man ein
> universelles Delta und ein universelles Epsilon findet,
> oder?
Nein - zu jedem Epsilon gibt es ein universelle Delta.
> Da wir auch den Satz hatten, dass stetige Funktionen auf
> einem kompakten Intervall [a,b] gleichmäßig stetig sind,
> verstehe ich unter gleichmäßiger Stetigkeit anschaulich,
> dass die Steigung des Graphen beschränkt ist...
Das ist falsch. Die Steigung ist ja der Quotient [m]\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}[/m] - den hast du mit glm. Stetigkeit nicht im Griff.
> So, mein Problem ist: Für mich bedeutet Lipschitzstetigkeit
> das gleiche wie gleichmäßige Stetigkeit: Die Steigung ist
> beschränkt!
Siehe oben. Das gilt bloß für Lipschitzstetigkeit.
> Vielleicht kann mir jemand auch Beispiele von Funktionen
> nennen, die gleichmäßig- aber nicht lipschitzstetig sind?
[m]\IR\to\IR, x\mapsto \begin{cases} \sqrt{1-x^2}&-1\le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}[/m]
Überprüfe mal die Steigung an [m]x=\pm 1[/m]
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 14.03.2008 | | Autor: | cauchy |
> [m]\IR\to\IR, x\mapsto \begin{cases} \sqrt{1-x^2}&-1\le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}[/m]
>
> Überprüfe mal die Steigung an [m]x=\pm 1[/m]
>
> SEcki
Ok, das habe ich so gemacht: Ich habe die Ableitung [mm] f'(x)=-\bruch{x}{\sqrt{1-x^2}} [/mm] für [mm] (-1\le x\le1) [/mm] berechnet. Für [mm] x\to-1 [/mm] strebt f' gegen [mm] +\infty [/mm] und für [mm] x\to1 [/mm] strebt f' gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Deshalb kann f nicht lipschitzstetig sein, da die Steigung nicht begrenzt ist. Ist das soweit richtig?
Und warum ist f jetzt glm stetig? Liegt es daran, dass f ein Maximum an der Stelle 0 annimmt und für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt, dass [mm] f\ge0 [/mm] ist?
Und deshalb kann man zu jedem Epsilon ein universelles Delta finden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [m]\IR\to\IR, x\mapsto \begin{cases} \sqrt{1-x^2}&-1\le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}[/m]
>
> >
> > Überprüfe mal die Steigung an [m]x=\pm 1[/m]
> >
> > SEcki
>
> Ok, das habe ich so gemacht: Ich habe die Ableitung
> [mm]f'(x)=-\bruch{x}{\sqrt{1-x^2}}[/mm] für [mm](-1\le x\le1)[/mm] berechnet.
> Für [mm]x\to-1[/mm] strebt f' gegen [mm]+\infty[/mm] und für [mm]x\to1[/mm] strebt f'
> gegen [mm]-\infty.[/mm]
>
> Deshalb kann f nicht lipschitzstetig sein, da die Steigung
> nicht begrenzt ist. Ist das soweit richtig?
ja, genauer:
$f$ ist diff'bar auf $(-1,1)$ mit der obigen Ableitung. Und mit Deiner Argumentation erkennt man, dass $f'$ auf $(-1,1)$ unbeschränkt ist.
> Und warum ist f jetzt glm stetig? Liegt es daran, dass f
> ein Maximum an der Stelle 0 annimmt und für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt, dass [mm]f\ge0[/mm] ist?
> Und deshalb kann man zu jedem Epsilon ein universelles
> Delta finden?
Also wenn Du glaubst, dass man damit argumentieren kann, dann versuch' es mal aufzuschreiben:
"Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ (das legst Du dann später fest). Dann gilt für alle $x,y$ mit [mm] $|x-y|<\delta$...."
[/mm]
Ich finde, Du solltest Dich an einen anderen Satz erinnern:
Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind gleichmäßig stetig.
Wenn Du hier z.B. [mm] $g:=f_{|[-2,2]}$ [/mm] betrachtest (also die Einschränkung von $f$ auf $[-2,2]$), dann ist $g$ ergo glm. stetig. Damit ist es dann ein Leichtes, die gleichmäßige Stetigkeit von $f$ (auf ganz [mm] $\IR$) [/mm] zu beweisen.
(Man könnte auch [mm] $f_{|[-\pi,\pi]}$, $f_{|\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]}$ [/mm] etc. betrachten, das würde das ganze genauso leicht machen. Damit es nicht unnötig kompliziert wird, würde ich halt das Kompaktum symmetrisch um die $0$ zudem so wählen, dass es $[-1,1]$ als Teilmenge enthält.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
