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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 16.06.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe mal eine Frage zu gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen.
Also ich hab mal gelesen, dass bei gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen gilt, dass wenn die einzelnen Funktionen der Folge stetig oder differenzierbar sind, dass es dann auch die Grenzfunktion ist.
Jetzt hab ich im Komplexen den Konvergenzssatz von Weierstraß.
Der sagt ja, dass wenn ich eine lokal gleichmäßig Funktionenfolge habe, wo alle Funktionen der Folge holomorph sind, dass dann auch die Grenzfunktion holomorph ist. Außerdem sind auch die Ableitungen lokal gleichmäßig konvergent gegen die entsprechenden Ableitungen der Grenzfunktion.
So, nun habe ich schon mehrmals gelesen, dass dieser Satz, wenn man ihn quasi ins Reelle übersetzt, nicht gilt.
Aber ich verstehe nicht warum. Im Reellen hab ich doch statt holomorph, was ja komplex differenzier ist, einfach normal differenzierbar, oder? Und dann ist doch nach meiner Aussage oben, wenn die Funktionen einer Folge alle differenzierbar sind, auch die Grenzfunktion differenzierbar, oder nicht? Oder gibts da ein Problem wegen lokaler und "normaler" gleichmäßiger Konvergenz?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] , $ [mm] f_n(x):=\bruch{1}{n}x^n$ [/mm] , konvergiert auf [0,1] gleichmäßig
Die Folge [mm] (f_n') [/mm] konvergiert auf [0,1] nicht gleichmäßig
FRED
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