Glm. / Lipschitz Stetigkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Di 19.03.2013 | | Autor: | Ganz |
Hi,
ich versuche mir die gleichmäßige Stetigkeit anschaulich zu verstehen und dazu habe ich bei Wikipedia diese Erklärung gefunden:
Anschaulich bedeutet das:
Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite [mm] \varepsilon [/mm] kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite [mm] \delta [/mm] finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \delta [/mm] geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet.
Ich verstehe nicht was: das Rechteck mit den Seiten [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \delta [/mm] geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet bedeuten soll.
Lipschitz Stetigkeit bedeutet doch anschaulich, dass die erste Ableitung beschränkt ist oder?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Di 19.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur ganz kurz:
> Lipschitz Stetigkeit bedeutet doch anschaulich, dass die
> erste Ableitung beschränkt ist oder?
Sowas kannst Du natürlich (für etwa Funktionen $f [mm] \colon \IR \to \IR$) [/mm] überhaupt
so nur sagen, sofern denn [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar (auf ganz [mm] $\IR$) [/mm] ist.
Es gilt in der Tat, dass eine diff'bare Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] dann und
nur dann Lipschitzsch ist, wenn [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt ist. Der Beweis erfolgt etwa
mit dem Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) (und ist relativ einfach).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> ich versuche mir die gleichmäßige Stetigkeit anschaulich
> zu verstehen und dazu habe ich bei Wikipedia diese
> Erklärung gefunden:
> Anschaulich bedeutet das:
> Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite
> [mm]\varepsilon[/mm] kann man eine hinreichend kleine waagrechte
> Rechteckseite [mm]\delta[/mm] finden, sodass, wenn man das Rechteck
> mit den Seiten [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]\delta[/mm] geeignet auf dem
> Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die
> senkrechten Rechtecksseiten schneidet.
> Ich verstehe nicht was: das Rechteck mit den Seiten
> [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]\delta[/mm] geeignet auf dem Funktionsgraphen
> entlangführt, dieser immer nur die senkrechten
> Rechtecksseiten schneidet bedeuten soll.
ich verstehe gerade Deine Wortwahl nicht. Ich hatte mal hier (klick!) was
dazu geschrieben.
Ich sag's mal so: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] glm. stetig ist, so bedeutet das das Folgende:
Egal, wie klein ich mir eine Rechteckhöhe der Länge [mm] $2\varepsilon [/mm] > 0$ vorgebe,
ich finde immer ein zu diesem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ passendes [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] folgendes erfüllt:
EGAL, an welche Stelle [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] ich gehe,
wenn ich dann das Rechteck mit den Eckpunkten
[mm] $$(x_0-\delta,\;f(x_0)-\varepsilon),\;(x_0+\delta,\;f(x_0)-\varepsilon),\;(x_0+\delta,\;f(x_0)+\varepsilon),\;(x_0-\delta,\;f(x_0)+\varepsilon)$$
[/mm]
betrachte, so verläuft der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] - eingeschränkt auf [mm] $(x_0-\delta,x_0+\delta)\,$; [/mm] also [mm] $f_{|(x_0-\delta,x_0+\delta)}$ [/mm] - stets innerhalb dieses Rechtecks. (Ob dieser "Teil des Graphen von [mm] $f\,$" [/mm] nun komplett innerhalb des Rechtecks liegt oder "nur" innerhalb des abgeschlossenen Rechtecks liegt, ist ein wenig Definitionssache - solche
Definitionen sind aber äquivalent).
(Du siehst hier auch anhand der angegebenen Eckpunkte, warum das
"universelle Rechteck" die Höhe [mm] $2\varepsilon$ [/mm] hat: Es ist ja [mm] $f(x_0)+\varepsilon-(f(x_0)-\varepsilon)=2\varepsilon\,;$ [/mm] und analog
erkennst Du, warum ich von der Rechteckbreite [mm] $2\delta$ [/mm] geredet habe:
[mm] $2\delta=x_0+\delta-(x_0-\delta)\,.$)
[/mm]
Anders gesagt: Für eine gegebene Rechteckhöhe [mm] $2\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es eine universelle
Rechteckbreite [mm] $2\delta [/mm] > 0$, so dass obige "Grapheinfangeigenschaft" erfüllt ist
(Beachte, dass da aber der Graph einer Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] steht!).
Bei Stetigkeit gilt ähnliches, nur gibt es nicht notwendig eine universelle Rechteckbreite;
die Breite darf (muss aber nicht) "von der Stelle [mm] $x_0$" [/mm] abhängig sein.
(Beachte die Wortwahl: Denn glm. stetige Funktionen sind insbesondere
(überall) stetig!)
Mach' Dir das Ganze vielleicht einfach mal mit Beispielen klar: Gleichmäßig
stetig ist etwa $x [mm] \mapsto [/mm] x$ als Funktion [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm] (Du kannst es
hier "banal" machen, und das Rechteck mit Höhe [mm] $2\varepsilon$ [/mm] und Breite
[mm] $2\delta=2\varepsilon$ [/mm] wählen, also ein Quadrat - oder Du wählst zur
Höhe $2 [mm] \varepsilon$ [/mm] die Breite [mm] $2\delta=\varepsilon\,.$ [/mm] Zu dieser
Anschauung: Zu welcher (formalen) Wahl von [mm] $\delta\,,$ [/mm] bei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$
beliebig, aber fest, vorgegeben, gehört der erste meiner Vorschläge und zu
welcher gehört der zweite?)
Stetig, aber nicht glm. stetig ist $x [mm] \mapsto x^2\,,$ [/mm] dazu reicht es durchaus,
letztere als Funktion [mm] $[0,\infty) \to \IR$ [/mm] zu betrachten. Nimm' bei letzterer Funktion
einfach mal an, sie sei glm. stetig, und mach' Dir anschaulich klar, dass es
Dir, wenn Du "nur immer weit genug nach rechts gehst", nicht gelingen
wird, "diese Grapheinfangeigenschaft" zu erfüllen. Dazu nimm' einfach mal
die Höhe [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] und stell' Dir vor, dass es doch so ein
universelles [mm] $\delta [/mm] > 0$ passend geben würde...
P.S. Früher hatte ich mal irgendwo ein schönes, passendes Bild gefunden
gehabt. Das finde ich gerade auf die Schnelle nicht. Vielleicht schreibst Du
mal genau Eure Definition der glm. Stetigkeit nieder, und versuchst,
entsprechend meinen Worten oben eine Skizze anzufertigen?
(Die "Unabhängigkeit der Rechteckbreite von der Stelle [mm] $x_0$" [/mm] deutest Du
dann einfach an, indem Du zwei verschiedene Stellen auswählst, einen Pfeil
dann von dem einen Rechteck zum anderen ziehst und dabei dazuschreibst:
"Rechteckbreite [mm] $2\delta$" [/mm] muss nicht verändert werden...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
danke dir für die tolle Antwort.
Also ich glaube mir ist jetzt klar wie glm Stetigkeit anschaulich aussieht.
Habe noch eine Frage bezüglich [mm] x^2. [/mm] Also ich habe mir das jetzt alles aufgezeichnet. Ist [mm] x^2 [/mm] nicht gleichmäßig stetig, weil wenn ich mir mein Rechteck zeichne und dieses Rechteck immer weiter nach rechts an dem Graphen entlang führe, dass das Rechteck ,,immer weniger vom Graphen beinhaltet" . So dass wenn man das Rechteck ,,ganz weit nach rechts entlang führt" nichts mehr vom Graphen in dem Rechteck ist.
Ich hoffe du verstehst was ich meine. Es ist ziemlich schwierig zu erklären:)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 20.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
solange du [mm] x^2 [/mm] zeichnen kannst ist es beschränkt und damit auch ggleichmäsig stetig!
du kannst am rechtesten ende ein [mm] \epsilon= [/mm] Höhe des rechtecks nehmen, das zugehörige [mm] \delta= [/mm] briete zeichnen, dieses rechteck passt dann überall! also hast du für alle x in deiner zeichnung ein [mm] \delta, [/mm] so dass wenn [mm] |x-a|<\delta |f(x)-f(a)|<\epsilon.
[/mm]
recht hast du damit, dass man das rechteck immer schmaler machen muss, je groesser x am rechten Rand ist.
denk dran> jede stetige fkt ist auf einem beschr'nkten Intervall glm. stetig.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Do 21.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> solange du [mm]x^2[/mm] zeichnen kannst ist es beschränkt und
> damit auch ggleichmäsig stetig!
> du kannst am rechtesten ende ein [mm]\epsilon=[/mm] Höhe des
> rechtecks nehmen, das zugehörige [mm]\delta=[/mm] briete zeichnen,
> dieses rechteck passt dann überall! also hast du für alle
> x in deiner zeichnung ein [mm]\delta,[/mm] so dass wenn [mm]|x-a|<\delta |f(x)-f(a)|<\epsilon.[/mm]
>
> recht hast du damit, dass man das rechteck immer schmaler
> machen muss, je groesser x am rechten Rand ist.
> denk dran> jede stetige fkt ist auf einem beschr'nkten
> Intervall glm. stetig.
wir hatten von $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] geredet - generell kann
man natürlich den Graphen davon nur "skizzieren". Und ansonsten stimmt's
natürlich: Stetige Funktionen eingeschränkt auf kompakten Mengen sind
stets glm. stetig (also die eingeschränkte Funktion). Aber irgendwie
verwirrt solch' ein Hinweis hier sicher mehr - denn, wie gesagt, darum ging
es auch nicht! ("Ganz" darf mit seinem [mm] $x\,$ [/mm] soweit nach rechts gehen,
wie er will!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 21.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ganz,
> Hallo,
> danke dir für die tolle Antwort.
> Also ich glaube mir ist jetzt klar wie glm Stetigkeit
> anschaulich aussieht.
> Habe noch eine Frage bezüglich [mm]x^2.[/mm] Also ich habe mir das
> jetzt alles aufgezeichnet. Ist [mm]x^2[/mm] nicht gleichmäßig
> stetig, weil wenn ich mir mein Rechteck zeichne und dieses
> Rechteck immer weiter nach rechts an dem Graphen entlang
> führe, dass das Rechteck ,,immer weniger vom Graphen
> beinhaltet" . So dass wenn man das Rechteck ,,ganz weit
> nach rechts entlang führt" nichts mehr vom Graphen in dem
> Rechteck ist.
> Ich hoffe du verstehst was ich meine. Es ist ziemlich
> schwierig zu erklären:)
ich formuliere es mal genauer: Angenommen, zu etwa [mm] $\varepsilon=1 [/mm] > 0$ gäbe es ein
[mm] $\delta [/mm] > 0$ mit der gewünschten "Grapheinfangeigenschaft". Wenn ich
nun aber dieses Rechteck mit Mittelpunkt (=Schnittpunkt der Diagonalen)
[mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] - das Rechteck habe Höhe $2 [mm] \varepsilon=2$ [/mm] und Breite $2 [mm] \delta$ [/mm] -
entlang des Graphen genügend weit nach rechts zu einem Punkt [mm] $(x_r,f(x_r))$
[/mm]
verschiebe - d.h. dann ist dieser Punkt nun der Mittelpunkt des verschobenen
Rechtecks mit der eben genannten Höhe bzw. Breite - so erfüllt es eben
die "Grapheinfangeigenschaft" doch nicht mehr. Letzteres besagt, etwas
genauer:
Es gibt (mindestens) eine Stelle [mm] $x_1 \in (x_r-\delta,x_r+\delta)$ [/mm] so, dass der Punkt [mm] $(x_1,f(x_1))$
[/mm]
des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] nicht mehr in dem Rechteck mit den Eckpunkten
[mm] $$(x_r-\delta,f(x_r)-1),\;(x_r+\delta,f(x_r)-1),\;(x_r+\delta,f(x_r)+1),\;(x_r-\delta,f(x_r)+1)$$
[/mm]
fällt.
Du hast was davon geschrieben, dass "nichts vom Graphen mehr in dem
Rechteck liegen kann". Das ist falsch - ein (immer kleiner werdender Teil,
je weiter man nach rechts geht) des Graphen passt immer in ein solches
Rechteck - alleine der Mittelpunkt des Rechtecks ist ja stets ein Punkt des
Graphen von [mm] $f\,.$ [/mm] Also sagen wir es mal so:
Je weiter man nach rechts geht, desto "geringer wird der Anteil des Graphen
von [mm] $f\,,$ [/mm] der entsprechend durch das Rechteck eingefangen werden
kann". Das ist schon sehr salopp und alles andere als präzise
ausgedrückt, und ich gebe Dir mal eine entsprechend schlampige Pseudo-
Begründung, oder sagen wir, man kann sich das zumindest etwas in etwa
so erklären:
Das liegt hier im Wesentlichen daran, dass "der Graph immer steiler wird,
je weiter man nach rechts geht". (Ich denke auch, dass das zuletzt Gesagte
im Wesentlichen das ist, was Du meintest!)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ein sehr schöner "Satz" ist auch:
Eine stetige Funktion [mm] $f:(a,b)\to \IR$ [/mm] ist gleichmäßig stetig, wenn [mm] $\lim_{x\to a}f(x), \lim_{x\to b}f(x)$ [/mm] existieren.
(Idee: Man kann die Funktion dann auf das kompakte Intervall [a,b] stetig fortsetzen).
Dadurch sieht man zumindest bei stetigen Funktionen sehr schön, wann es mit der gleichmäßigen Stetigkeit hapert: Immer wenn irgendwo am Rand ein Limes nicht existiert. Und dies kann nur bei zwei Situationen der Fall sein: Entweder die Funktion geht gegen Unendlich (wie bei [mm] x^2 [/mm] bei x [mm] \to \infty [/mm] ) oder sie "oszilliert" (z.B. [mm] $\sin(x)/x$ [/mm] bei x = 0).
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Do 21.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo,
>
> ein sehr schöner "Satz" ist auch:
>
> Eine stetige Funktion [mm]f:(a,b)\to \IR[/mm] ist gleichmäßig
> stetig, wenn [mm]\lim_{x\to a}f(x), \lim_{x\to b}f(x)[/mm]
> existieren.
>
> (Idee: Man kann die Funktion dann auf das kompakte
> Intervall [a,b] stetig fortsetzen).
Du formulierst so ja nur eine hinreichende Bedingung!
> Dadurch sieht man zumindest bei stetigen Funktionen sehr
> schön, wann es mit der gleichmäßigen Stetigkeit hapert:
> Immer wenn irgendwo am Rand ein Limes nicht existiert. Und
> dies kann nur bei zwei Situationen der Fall sein: Entweder
> die Funktion geht gegen Unendlich (wie bei [mm]x^2[/mm] bei x [mm]\to \infty[/mm]
Naja, wie willst Du den Satz denn anwenden? Du formulierst oben, wie
gesagt, nur eine hinreichende Bedingung für glm. Stetigkeit (ob der Satz
sich als "'genau dann, wenn-'Aussage" erweitern läßt, darüber denke ich
gerade nicht nach!!) - also sowas wie "$A [mm] \Rightarrow B\,.$"
[/mm]
Und jetzt sagst Du, dass bei $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] halt [mm] $\lim_{x \to \infty} x^2=\infty$ [/mm] eben
nicht in [mm] $\IR$ [/mm] existiert - d.h., Du sagst, dass [mm] $\neg [/mm] A$ gilt. Damit kann man
dann nichts folgern.  (Wie gesagt: Ich halte mich nur "wörtlich" an das
von Dir Gesagte - vielleicht reicht's ja, Deine Aussage etwas zu erweitern.
Zudem sollte irgendwo dabeistehen, ob [mm] $a=-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $b=\infty$ [/mm] auch jeweils erlaubt
ist!)
P.S. Übrigens ist natürlich auch [mm] $[0,\infty]$ [/mm] nicht kompakt (bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] mit der "üblichen
Metrik versehen").
Gruß,
Marcel
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