Glm. Stetigk. - Beschränktheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 11.05.2005 | | Autor: | phyzard |
Ich frage mich, was man eigentlich bezüglich der Beschränktheit einer Funktion aus der gleichmäßigen Stetigkeit folgern kann.
a) Folgt aus glm. Stetigkeit die Beschränktheit der Funktion ?
b) Folgt die Beschränktheit der Ableitung (falls existent) ?
Was gilt allgemein und was speziell für z.B. Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ?
Danke für Eure Hilfe,
martin
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:24 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=x$ ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] gleichmässig stetig, trotzdem ist die Funktion nicht beschränkt.
Bei b) würde ich zustimmen, weil man ja für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und alle $x, [mm] y\in \IR$ [/mm] eine Zahl [mm] $\delta>0$ [/mm] findet, müsste doch für alle [mm] $x\neq [/mm] y$ gelten:
[mm] $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le \frac{\varepsilon}{\delta}$. [/mm] Daraus müsste auch die Beschränktheit von $f'$ folgen.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 11.05.2005 | | Autor: | phyzard |
Hallo Max,
und wie sieht es aus, wenn ich bei a) statt gleichmäßiger Stetigkeit fordere, dass die Funktion stetig auf einer kompakten Menge ist? Daraus folgt ja die gleichmäßige Stetigkeit auf dieser Menge und mir scheint, dass dann zusätzlich die Beschränktheit folgt. Stimmt's?
Deine Antwort zu b) klingt überzeugend.
Danke für die Mühe,
martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Martin,
auf einer kompakten Menge ist jede stetige Funktion beschränkt und nimmt sogar ein Minimum und Maximum an.
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mi 11.05.2005 | | Autor: | phyzard |
Ach bin ich doof. Das ist doch der Satz von Weierstraß, wenn mich nicht alles täuscht. Wie schnell vergisst man doch das gerade gelernte wieder.... traurig.
Aber vielen Dank für die Aufklärung.
Schöne Grüße,
martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen!
> Hallo,
>
> die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm]
> gleichmässig stetig, trotzdem ist die Funktion nicht
> beschränkt.
>
> Bei b) würde ich zustimmen, weil man ja für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] und alle [mm]x, y\in \IR[/mm] eine Zahl [mm]\delta>0[/mm]
> findet, müsste doch für alle [mm]x\neq y[/mm] gelten:
>
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le \frac{\varepsilon}{\delta}[/mm].
> Daraus müsste auch die Beschränktheit von [mm]f'[/mm] folgen.
zunächst einmal:
Aus $|x-y|< [mm] \delta$ [/mm] folgt nicht:
[mm] $\frac{1}{|x-y|}<\frac{1}{\delta}$, [/mm] sondern:
[mm] $\frac{1}{|x-y|}> \frac{1}{\delta}$.
[/mm]
Daher stimmt die Abschätzung [mm] $(\star)$ [/mm] leider nicht!
Aber selbst, wenn sie richtig wäre:
Würden wir zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{n}$ [/mm] immer nur $0 < [mm] \delta \le \frac{1}{n^2}$ [/mm] finden, so würde wegen [mm] $(\star)$ [/mm] zwar gelten:
[mm]\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le \frac{\varepsilon}{\delta}[/mm], aber es wäre:
[mm] $\frac{\varepsilon}{\delta} \ge [/mm] n$
und würde daher (bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] nicht die Beschränktheit von $f'$ implizieren. Nichtsdestotrotz glaub auch ich, dass $f'$ beschränkt ist, bin nur gerade zu faul, über einen Beweis nachzudenken  !
Viele Grüße,
Marcel
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