Glm. stetigk. verketteter Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] D\subset [/mm] R, g:D->R und f:g(D)->R, seien beide glm. stetig,
z.z. dass auch f°g (verknüpft): D->R glm. stetig ist. |
Also wir haben bisher die Definition für glm. Stetigkeit und können daher sagen, wenn
[mm] Ix-x'I<\delta [/mm] und [mm] Ig(x)-g(x')I<\epsilon [/mm] -> glm. stetigkeit (natürlich noch [mm] \epsilon [/mm] > 0 usw.)
und
[mm] Ix-x'I<\delta [/mm] und [mm] If(x)-f(x')I<\epsilon [/mm] -> glm stetigkeit
aber wir kommen einfach nicht darauf wie wir das am besten mit der verknüpfung machen sollen, wäre echt lieb wenn uns jemand helfen könnte... wir haben auch schon 2 stunden darüber nach gedacht, aber uns geht einfach kein licht auf... wir wären sehr dankbar <3
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
Bastelt mal etwas hiermit:
|x - x'| < a
|g(x) - g(x')| < b
|f(g(x)) - f(g(x'))| < c
für $a,b,c [mm] \in \IR, [/mm] a,b,c > 0$
Dann müsst ihr die einzelnen Variablen nur noch entsprechend [mm] $\delta$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] nennen und ihr seid schon fast fertig. ;)
MfG
Schadowmaster
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ok, ich bin mir leider immer noch ganz und gar unsicher... irgendwie steh ich bei der Aufgabe total auf dem schlauch
aber schon mal vielen lieben dank für die antwort :D
ich hab mir jetzt gedacht, da ja
|x - x'| < [mm] \delta [/mm] |g(x) - g(x')| < [mm] \epsilon [/mm]
und da wir ja wissen, dass für die folge f gilt:
|y - y'| < [mm] \delta [/mm] |f(y) - f(y')| < [mm] \epsilon
[/mm]
vielen lieben dank schon mal für jede antwort :)
und wenn wir jetzt für y=g(x) bzw. für y'=g(x') setzen, dann folgt: (aber ich glaube nicht das ich das so einfach darf oder?)
|g(x) - g(x')| < [mm] \delta [/mm] |f(g(x)) - f(g(x'))| < [mm] \epsilon
[/mm]
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Du weißt folgendes:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ findest du [mm] $\delta [/mm] > 0$, sodass gilt:
$|x - x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |g(x) - g(x')| < [mm] \epsilon$
[/mm]
weiterhin mit ggf. anderen [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$:
[/mm]
$|x - x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |g(x) - g(x')| < [mm] \epsilon$
[/mm]
Du musst zeigen, dass du für alle [mm] $\epsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta$ [/mm] findest mit:
$|x - x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(g(x)) - f(g(x')) | < [mm] \epsilon$
[/mm]
Deine Überlegung, dass man g(x) ja als y setzen könnte und damit dann die Aussage kriegt ist soweit auch richtig, du musst sie (vielleicht auch um dich selbst zu überzeugen) vielleicht noch ein wenig ausformulieren:
$|x - x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |g(x) - g(x')| [mm] \epsilon_1 \Rightarrow [/mm] |f(g(x)) - f(g(x'))| < [mm] \epsilon$
[/mm]
Du musst jetzt nur noch argumentieren, wieso du zu jedem [mm] $\epsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta$ [/mm] findest; das [mm] $\epsilon_1$ [/mm] könnte dabei hilfreich sein.
MfG
Schadow
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ich hab jetzt 15 min. darüber nach gedacht und kann es vllt. sein, dass bei
[mm] |g(x)-g(x')|\epsilon_1 [/mm] ein "<" fehlt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 Do 22.09.2011 | | Autor: | pippilotta |
ich versuch es noch mal...
also wir wissen ja, dass gilt:
[mm] |x-x'|<\delta [/mm] -> [mm] |g(x)-g(x')|<\lambda
[/mm]
und ebenfalls:
[mm] |y-y'|<\mu [/mm] -> [mm] |f(y)-f(y')|<\epsilon
[/mm]
wenn wir jetzt für y=g(x) bzw. für y'=g(x') setzen, dann folgt, dass [mm] \lambda=\mu [/mm] und somit:
[mm] |x-x'|<\delta [/mm] -> [mm] |g(x)-g(x')|<\lambda [/mm] -> [mm] |f(g(x))-f((g(x'))|<\epsilon
[/mm]
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Hallo,
> ich hab jetzt 15 min. darüber nach gedacht und kann es
> vllt. sein, dass bei
> [mm]|g(x)-g(x')|\epsilon_1[/mm] ein "<" fehlt?
Ja, offensichtlich ...
Gruß
schachuzipus
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Für mich als erstsemestler, war das leider erst mal gar nicht so ganz offensichtlich^^
Aber ich wollte noch mal fragen, ob mein beweis dann so stimmt, tut mir leid ich bin mir bei so etwas immer total unsicher.. Muss ich denn da noch was zu schreiben, was schlussfolgern oder so? Für mich sieht dass im moment einfach noch zu einfach aus^^ vielen dank für jede antwort <3
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> Für mich als erstsemestler, war das leider erst mal gar
> nicht so ganz offensichtlich^^
>
> Aber ich wollte noch mal fragen, ob mein beweis dann so
> stimmt, tut mir leid ich bin mir bei so etwas immer total
> unsicher.. Muss ich denn da noch was zu schreiben, was
> schlussfolgern oder so? Für mich sieht dass im moment
> einfach noch zu einfach aus^^ vielen dank für jede antwort
> <3
Wenn man die Lösung hat dann sieht sie oftmals einfach aus; auch wenn es gar nicht so einfach war drauf zu kommen.
Ich persönlich würde es so aufschreiben (die lange Version^^):
Zu zeigen ist:
[mm] $\forall \epsilon \in \IR, \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta \in \IR, \delta [/mm] > 0$
sodass gilt:
$|x - x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(g(x)) - f(g(x'))| < [mm] \epsilon$
[/mm]
Da f gleichmäßig stetig ist findet man zu jedem [mm] $\epsilon \in \IR, \epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\alpha \in \IR, \alpha [/mm] > 0$, sodass gilt:
$|g(x) - g(x')| < [mm] \alpha(\epsilon) \Rightarrow [/mm] |f(g(x)) - f(g(x'))| < [mm] \epsilon$
[/mm]
Weiterhin findet man, da g gleichmäßig stetig ist, auch zu jedem [mm] $\beta \in \IR, \beta [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta \in \IR, \delta [/mm] > 0$, sodass gilt:
$|x- x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |g(x) - g(x')| < [mm] \beta$
[/mm]
Wähle nun [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha$.
[/mm]
Dann gilt:
$|x - x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |(g(x) - g(x')| < [mm] \alpha \Rightarrow [/mm] |f(g(x)) - f(g(x'))| < [mm] \epsilon$
[/mm]
Ins besondere gilt also:
$|x - x'| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(g(x)) - f(g(x'))| < [mm] \epsilon$
[/mm]
Das ist an sich viel zu lang für einen Beweis dieser Aufgabe, aber wenn du dich damit sicherer fühlst kannst du es gerne auf diese Art schreiben. ;)
MfG
Schadowmaster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Do 22.09.2011 | | Autor: | pippilotta |
vielen lieben dank, ich fühle mich so auf jeden fall sicherer, danke für deine tolle hilfe <3
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