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| Aufgabe | | Bestimmung von globalen Minima und Maxima bei Funktionen zweier Veränderlicher. |
Wir behandeln derzeit Funktionen zweier Veränderlicher ohne Nebenbedingung und sollen bestimmen, ob lokale (relative) Extrema global sind oder nicht.
Wir man mit Hilfe der Hessematrix auf lokale Extrema schließen und diese mittels des [mm] AC-B^2 [/mm] Kriteriums überprüfen kann, habe ich verstanden.
Nun soll aber eine Bestimmung von Konkavität bzw. Konvexität der Funktion dazu verhelfen, dass man bestimmen kann, ob die gefundenen lokalen Extrema auch global sind oder nicht. Aber wie funktioniert das? Ich verstehe das von Anfang an einfach nicht...
Ich wäre wirklich dankbar für eine anschauliche Erklärung!!
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Christian,
die Krümmung so einer Fläche, durch Konvexität bzw. Konkavität beschrieben, lässt Aussagen zu, ob es sich bei Extrema eventuell sogar um globale Extrema handelt. Hier helfen dann das Betrachten des Definitionsereiches und Vergleiche der Extremalwerte untereinander.
Ein simples Beispiel:
$$ f(x,ay) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] $$ auf einem Definitionsbereich, der den Nullpunkt einschließt. Der Nullpunkt ist hier nicht nur ein lokales, sondern sogar ein globales Minimum.
Die Fläche ist konvex und damit ist ein lokales Minimum auch immer ein globales. Bei einer konkaven Funktion dagegen ist ein lokales Maximum auch immer ein globales.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit,
danke für deine Antwort! Gut, ich habe nun verstanden, dass es sich bei dieser Funktion um ein globales Minimum handeln muss, da sie konvex ist. Konvex ist sie, weil alle geraden Verbindungen zweier auf der Funktion liegenden Punkte oberhalb des Graphen verlaufen. Bei dieser Funktion ist das sehr anschaulich und leicht nachvollziehbar.
Wenn ich aber eine kompliziertere Funktion gegeben habe. Wie kann ich dann auf Konvexität bzw. Konkavität schließen?
Danke nochmals für deine Hilfe!!
Viele Grüße
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 So 03.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Christian,
hierfür würde ich Dir ja gerne eine Lösung anbieten, ich kenne jedoch keine und ich glaube auch nicht, dass es einen deratigen Automatismus hierfür gibt. Damit wären all die numerischen Optimierungsverfahren hinfällig. Was man prkatischerweise hier macht, ist, dass man die Extrema überprüft, die im Definitionsgebiet liegen und dass man sich die Randwerte der Funktion anschaut. Danach lässt sich entscheiden, wie es mit globalen Extrema aussieht. Dass in der Umgebung eines Maximums die Fläche konvex sein muss, in der Umgebung eines Minimums konkav, ist zwar einleuchtend, hift Dir aber nicht bei der Klassifizierung nach globalen oder lokalen Extrema.
Tja, nicht alles kann man analytisch bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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