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| Aufgabe | Zu bestimmen ist der maximale Definitionsbereich, Unendlichkeitsstellen, lokale und globale Extrema sowieso das asymptotische Verhalten für x-> +/- [mm] \infty [/mm]
[mm] f:D\subseteq\mathbb{R}->\mathbb{R} [/mm] mit [mm] f(x)=\frac{x^3}{10(x-2)} [/mm] |
Hallo Leute,
meine Lösung bis jetzt:
Defintionsbereich: [mm] \mathbb{R} \backslash \{2\}
[/mm]
Untersuchung der Polstelle bei x=2 über links und rechtsseitige Grenzwertbetrachtung mit dem Ergebnis, dass es sich um eine ungerade Polstelle handelt.
Ist das mit Unendlichkeitsstellen gemeint?
[mm] f'(x)=\frac{x^2(x-3)}{5(x-2)^2}
[/mm]
Extremstellen
[mm] f'(x)=\frac{x^2(x-3)}{5(x-2)^2}=0
[/mm]
Extremstellen bei [mm] x_{E_1}=0 [/mm] und [mm] x_{E_2}=3
[/mm]
Bei der Klassifizierung der Extremstellen untersuchen wir immer den links- und rechtsseitigen Tangenanstieg nahe der Extremstelle mit [mm] sgn(f'(x_0-\varepsilon) \neq sgn(f'(x_0+\varepsilon). [/mm] Bei einem Vorzeichenwechsel von - nach + ist es ein Minimum und bei einem von + nach - ein Maximum.
Hier komme ich jetzt bei der Null darauf, dass es keinen Vorzeichenwechsel gibt ,weil [mm] sgn(f'(0-\varepsilon) [/mm] = [mm] sgn(f'(0+\varepsilon) [/mm] = - sind, wie kann ich das jetzt näher bestimmen?
In der Schule hat man es ja einfach mit der zweiten und dritten Ableitung gemacht, aber wie geht es hier?
Bei [mm] x_{E_2}=3 [/mm] komme ich auf
[mm] (f'(3-\varepsilon) [/mm] < 0 und [mm] (f'(3+\varepsilon)>0 [/mm] => Minimum
Wenn ich jetzt die globalen Extrema bestimmen soll, wie gebe ich das denn genau an, denn die Funktion hat ja eine Bildungsvorschrift von [mm] D\subseteq\mathbb{R}->\mathbb{R} [/mm] und nahe der Polstellen wird die Funktion ja auch schon +/- [mm] \infty, [/mm] was einem globalen Extrema entsprechen würde und auch gegen +/- [mm] \infty [/mm] geht der Funktionswert gegen [mm] \infty. [/mm] Welches davon ist jetzt anzugeben?
Wie ist denn das genau mit der Asymptote dann zu untersuchen?
Also ich habe auch schon die Polynomdivision gemacht und bin dort auf
[mm] x^3:(10x-20)=\frac{1}{10}x^2+\frac{2}{10}x+\frac{4}{10}+\frac{8}{10x-20} [/mm] gekommen, aber wie gebe ich jetzt genau das asymptotische Verhalten mit meinem ganzrationalen Teil an?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Do 05.12.2013 | | Autor: | chrisno |
> Zu bestimmen ist der maximale Definitionsbereich,
> Unendlichkeitsstellen, lokale und globale Extrema sowieso
> das asymptotische Verhalten für x-> +/- [mm]\infty[/mm]
> [mm]f:D\subseteq\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]f(x)=\frac{x^3}{10(x-2)}[/mm]
> Hallo Leute,
> meine Lösung bis jetzt:
>
> Defintionsbereich: [mm]\mathbb{R} \backslash \{2\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Untersuchung der Polstelle bei x=2 über links und
> rechtsseitige Grenzwertbetrachtung mit dem Ergebnis, dass
> es sich um eine ungerade Polstelle handelt.
>
> Ist das mit Unendlichkeitsstellen gemeint?
vermutlich
Du benötigst im Weiteren, wie die Funktion in der Nähe von x=2 für x>2 und x<2 verläuft, also das Ergebnis der Grenzbetrachtung.
>
>
> [mm]f'(x)=\frac{x^2(x-3)}{5(x-2)^2}[/mm]
>
> Extremstellen
> [mm]f'(x)=\frac{x^2(x-3)}{5(x-2)^2}=0[/mm]
>
> Extremstellen bei [mm]x_{E_1}=0[/mm] und [mm]x_{E_2}=3[/mm]
Nein, hier ist die Aussage: falls es lokale Extrema gibt, dann können sie nur an diesen beiden Punkten vorliegen.
>
> Bei der Klassifizierung der Extremstellen untersuchen wir
> immer den links- und rechtsseitigen Tangenanstieg nahe der
> Extremstelle mit [mm]sgn(f'(x_0-\varepsilon) \neq sgn(f'(x_0+\varepsilon).[/mm]
> Bei einem Vorzeichenwechsel von - nach + ist es ein Minimum
> und bei einem von + nach - ein Maximum.
>
> Hier komme ich jetzt bei der Null darauf, dass es keinen
> Vorzeichenwechsel gibt ,weil [mm]sgn(f'(0-\varepsilon)[/mm] =
> [mm]sgn(f'(0+\varepsilon)[/mm] = - sind, wie kann ich das jetzt
> näher bestimmen?
Das ist ein klarer Nachweis, dass eben kein Extremum vorliegt.
>
> In der Schule hat man es ja einfach mit der zweiten und
> dritten Ableitung gemacht, aber wie geht es hier?
Das wäre auch ein Zugang. Du benötigst nur die zweite Ableitung.
>
> Bei [mm]x_{E_2}=3[/mm] komme ich auf
> [mm](f'(3-\varepsilon)[/mm] < 0 und [mm](f'(3+\varepsilon)>0[/mm] => Minimum
Nun musst Du die Extremstelle noch angeben.
>
> Wenn ich jetzt die globalen Extrema bestimmen soll, wie
> gebe ich das denn genau an, denn die Funktion hat ja eine
> Bildungsvorschrift von [mm]D\subseteq\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm] und
> nahe der Polstellen wird die Funktion ja auch schon +/-
> [mm]\infty,[/mm] was einem globalen Extrema entsprechen würde und
> auch gegen +/- [mm]\infty[/mm] geht der Funktionswert gegen [mm]\infty.[/mm]
> Welches davon ist jetzt anzugeben?
Wenn ihr [mm]\infty[/mm] auch als Extremwerte angebt, dann gibt es eben mit [mm]\pm \infty[/mm] diese beiden. Der eine [mm]\infty[/mm] wird mehrfach angenommen. Ich hätte gesagt, dass es keine globalen Extremwerte gibt.
>
> Wie ist denn das genau mit der Asymptote dann zu
> untersuchen?
> Also ich habe auch schon die Polynomdivision gemacht und
> bin dort auf
> [mm]x^3:(10x-20)=\frac{1}{10}x^2+\frac{2}{10}x+\frac{4}{10}+\frac{8}{10x-20}[/mm]
> gekommen, aber wie gebe ich jetzt genau das asymptotische
> Verhalten mit meinem ganzrationalen Teil an?
Auch hier hängt das nach meiner Einschätzung davon ab, was Konvention bei Euch ist. Ich habe Asyptote als Bezeichnung für eine Gerade kennengelernt, an die sich die Funktion annähert. Hier ist es keine Gerade, also würde ich sagen, es gibt keine Asymptote. Andererseits kann man sagen, dass sich der Funktionsgraph assymtotisch an den von [mm] $\frac{1}{10}x^2+\frac{2}{10}x+\frac{4}{10}$ [/mm] annähert. Denn man kann die Differenz zwischen beiden beliebig klein werden lassen, wenn man nur |x| ausreichend groß werdden lässt. (Ich habe das nicht nachgerechnet.)
>
>
Plotte mal die Funktion, mit dem, was Du bisher weißt.
Für [mm] $2
Für [mm] $-\infty
> Vielen Dank im Voraus!
>
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> >
> > Bei [mm]x_{E_2}=3[/mm] komme ich auf
> > [mm](f'(3-\varepsilon)[/mm] < 0 und [mm](f'(3+\varepsilon)>0[/mm] => Minimum
>
> Nun musst Du die Extremstelle noch angeben.
> >
> > Wenn ich jetzt die globalen Extrema bestimmen soll, wie
> > gebe ich das denn genau an, denn die Funktion hat ja eine
> > Bildungsvorschrift von [mm]D\subseteq\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm] und
> > nahe der Polstellen wird die Funktion ja auch schon +/-
> > [mm]\infty,[/mm] was einem globalen Extrema entsprechen würde und
> > auch gegen +/- [mm]\infty[/mm] geht der Funktionswert gegen [mm]\infty.[/mm]
> > Welches davon ist jetzt anzugeben?
> Wenn ihr [mm]\infty[/mm] auch als Extremwerte angebt, dann gibt es
> eben mit [mm]\pm \infty[/mm] diese beiden. Der eine [mm]\infty[/mm] wird
> mehrfach angenommen. Ich hätte gesagt, dass es keine
> globalen Extremwerte gibt.
Ich weiß leider auch nicht genau, wie wir das definiert haben, weil ich habe das eben einfach bei Google gesucht und dort wurde das so gemacht. Deswegen vermute ich auch eher, dass wir angeben sollen, dass es keine globale Extremalstellen gibt.
> > Wie ist denn das genau mit der Asymptote dann zu
> > untersuchen?
> > Also ich habe auch schon die Polynomdivision gemacht
> und
> > bin dort auf
> >
> [mm]x^3:(10x-20)=\frac{1}{10}x^2+\frac{2}{10}x+\frac{4}{10}+\frac{8}{10x-20}[/mm]
> > gekommen, aber wie gebe ich jetzt genau das asymptotische
> > Verhalten mit meinem ganzrationalen Teil an?
> Auch hier hängt das nach meiner Einschätzung davon ab,
> was Konvention bei Euch ist. Ich habe Asyptote als
> Bezeichnung für eine Gerade kennengelernt, an die sich die
> Funktion annähert. Hier ist es keine Gerade, also würde
> ich sagen, es gibt keine Asymptote. Andererseits kann man
> sagen, dass sich der Funktionsgraph assymtotisch an den von
> [mm]\frac{1}{10}x^2+\frac{2}{10}x+\frac{4}{10}[/mm] annähert. Denn
> man kann die Differenz zwischen beiden beliebig klein
> werden lassen, wenn man nur |x| ausreichend groß werdden
> lässt. (Ich habe das nicht nachgerechnet.)
> >
Das ist eine gute Idee, vielen Dank!
> Plotte mal die Funktion, mit dem, was Du bisher weißt.
> Für [mm]2
> [mm]\infty[/mm]. Da sie stetig und differenzierbar ist, muss sie
> dazwischen ein Minimum haben. Der einzige Kandidat ist bei
> x=3, also ist es dort.
> Für [mm]-\infty
> gibt nur einen Kandidaten für ein Extremum. Dann kann dies
> keins sein, denn sonst müsste noch ein weiteres vorhanden
> sein, damit der Verlauf an den Grenzen stimmen kann. Also
> liegt hier ein Sattelpunkt vor. Genau das hast Du auch mit
> Deiner Untersuchung gezeigt.
Wie kann ich das noch mit weiteren Ableitungen zeigen, weil gebrochenrationale Funktionen zu skizzieren ist immer etwas schwierig? Ich muss das ja nachvollziehbar angeben. :-/
Du hast mir sehr geholfen. 
> > Vielen Dank im Voraus!
> >
>
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> > > nahe der Polstellen wird die Funktion ja auch schon +/-
> > > [mm]\infty,[/mm] was einem globalen Extrema
ein Extremum, viele Extrema
>entsprechen würde und
> > > auch gegen +/- [mm]\infty[/mm] geht der Funktionswert gegen [mm]\infty.[/mm]
> > > Welches davon ist jetzt anzugeben?
Hallo,
das, was Du beschreibst, sind keine globalen Extrema.
Bei den Polstellen gib es als Grenzwert von links und von rechts an,
und dann sag noch das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches, also [mm] \lim_{x\to\infty} [/mm] und [mm] \lim_{x\to\infty}.
[/mm]
>
>
> > Plotte mal die Funktion, mit dem, was Du bisher weißt.
> > Für [mm]2
> > [mm]\infty[/mm]. Da sie stetig und differenzierbar ist, muss sie
> > dazwischen ein Minimum haben. Der einzige Kandidat ist bei
> > x=3, also ist es dort.
> > Für [mm]-\infty
> > gibt nur einen Kandidaten für ein Extremum. Dann kann dies
> > keins sein, denn sonst müsste noch ein weiteres vorhanden
> > sein, damit der Verlauf an den Grenzen stimmen kann. Also
> > liegt hier ein Sattelpunkt vor. Genau das hast Du auch mit
> > Deiner Untersuchung gezeigt.
>
> Wie kann ich das noch mit weiteren Ableitungen zeigen, weil
> gebrochenrationale Funktionen zu skizzieren ist immer etwas
> schwierig? Ich muss das ja nachvollziehbar angeben. :-/
Du hast doch alles untersucht, was die Aufgabe von Dir fordert: das Verhalten im Bereich der Polstellen und an den Rändern des Definitionsbereiches, Du hast die Stellen mit waagerechter Tangente untersucht und ein Minimum und einen Sattelpunkt gefunden.
Damit kannst Du eine Skizze erstellen.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Fr 06.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Das ist mir auch nicht so klar, was Du noch willst.
Du kannst den Weg mit der zweiten Ableitung noch gehen. Berechne sie, und setze x=0 und x=3 ein.
Meine Argumentation benutzt den Zwischenwertsatz. Kennst Du den?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 08.12.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ja, den Zwischenwertsatz kenne ich.
Ich dachte die Stelle, die keine Extremstelle war (Sattelpunkt), müsste ich noch genauer mathematisch definieren. Anscheinend ergibt es sich aber ja schon daraus, also vielen Dank!
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