Glückspiel, Gleichwahrscheinl. < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zwei Spieler, A und B, spielen ein Glückspiel, das aus mehreren Runden besteht. Jede Runde kann ein Spieler mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gewinnen und damit einen Punkt bekommen. Gewonnen hat der Spieler, der zuerst 4 Punkte erricht. Leider müssen sie das Spiel nach 5 Runden beim Stand ABBAB abbrechen (die Abfolge gibt an, in welcher Runde welcher Spieler gewonnen hat).
In welchem Verhältnis muss der Einsatz aufgeteilt werden, wenn er entsprechend der Gewinnchancen beim aktuellen Spielstand verteilt werden soll. |
Lösung:
Um das Spiel zu einem Ende zu führen, müsste einer der folgenden Fällen eintreten:
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{AA, AB, B \}.
[/mm]
Im ersten Fall hätte A gewonnen, in den anderen beiden B. Wir sehen aber gleich, dass die drei Fälle nicht gleichwahrscheinlich sein können. Um das Problem zu entgehen, spielen wir in jedem Fall noch zwei Runden, auch wenn der Ausgang des Spieles schon früher feststeht. Die möglichen Ergebnisse sind dann.
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{AA, AB, BA, BB \}.
[/mm]
Da diese Ausgänge alle gleichwahrscheinlch sind, bedeutet das, dass Spieler A mit einer Wahrscheinlicht von [mm] \bruch{1}{4} [/mm] gewonnen hätte und Spieler B mit [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
Frage:
Woran sieht man, dass es hier [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{AA, AB, B \} [/mm] nicht gleichwahrscheinlich ist und [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{AA, AB, BA, BB \} [/mm] schon????
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Hallo,
> Frage:
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> Woran sieht man, dass es hier [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{AA, AB, B \}[/mm] nicht
> gleichwahrscheinlich ist und [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{AA, AB, BA, BB \}[/mm]
> schon????
Das ist schnell beantwortet: bei AA bzw. AB handelt es sich um zusammengesetzte Ereignisse (und zwar aus den Elementareireignissen zusammen gesetzt!), bei B hast du ein Elementarereignis.
Die Aufgabe ist ja ein Klassiker, die Variante mit dem zu Ende spielen kannte ich noch gar nicht. Sehr schön!
Gruß, Diophant
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Hi,
ja ok und wäre, wenn ich [mm] \Omega [/mm] so betrachte: [mm] \{AA, AB, BA \}
[/mm]
So würde ja auch B eher gewinnen. Aber wieso wäre das jetzt nicht gleichwahrscheinlich?
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Hallo,
> Hi,
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> ja ok und wäre, wenn ich [mm]\Omega[/mm] so betrachte: [mm]\{AA, AB, BA \}[/mm]
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> So würde ja auch B eher gewinnen. Aber wieso wäre das
> jetzt nicht gleichwahrscheinlich?
Das ist falsch: das Ereignis BA gibt es laut Spielregel an der Stelle, wo abgebrochen wird, nicht mehr.
Gruß, Diophant
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Und wieso geht
[mm] \Omega=\{AA, AB, BA, BB \}
[/mm]
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Hallo,
> Und wieso geht
>
> [mm]\Omega=\{AA, AB, BA, BB \}[/mm]
weil du hier alle möglichen Spielausgänge drinhast, die es nach 5 Runden (noch) geben kann.
Gruß, Diophant
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Ok,
und wir hatten ja hier die Wahrscheinlichkeiten für $ [mm] \Omega=\{AA, AB, BA, BB \} [/mm] $ bei [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \bruch{3}{4} [/mm] angegeben.
wäre es dann bei [mm] \Omega=\{AA, AB, B \} \bruch{1}{3} [/mm] zu [mm] \bruch{2}{3}???
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Do 05.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ok,
>
> und wir hatten ja hier die Wahrscheinlichkeiten für
> [mm]\Omega=\{AA, AB, BA, BB \}[/mm] bei [mm]\bruch{1}{4}[/mm] und
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm] angegeben.
Vermutlich meinst du das richtige. Schreibe zu jedem der vier Möglichkeiten mal auf, welcher Spieler gewinnt. Und dann überlege daraus die Gewinnwahrscheinlichkeiten der Spieler.
>
> wäre es dann bei [mm]\Omega=\{AA, AB, B \} \bruch{1}{3}[/mm] zu
> [mm]\bruch{2}{3}???[/mm]
>
Nein, denn [mm]P(B)\ne P(AA)=P(AB)[/mm]
Marius
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Also in der Lösung stand ja bei [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{AA, AB, BA, BB \}
[/mm]
> Da diese Ausgänge alle gleichwahrscheinlch sind, bedeutet das, dass Spieler A mit einer Wahrscheinlicht von $ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $ gewonnen hätte und Spieler B mit $ [mm] \bruch{3}{4}. [/mm] $
Berechnen die das nicht so: [mm] |\Omega [/mm] |=4
A hat 1 Möglichkeit und B 3. und deswegen die oben geannten Wahrscheinlichkeiten???
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Hallo,
> Also in der Lösung stand ja bei [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{AA, AB, BA, BB \}[/mm]
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> > Da diese Ausgänge alle gleichwahrscheinlch sind, bedeutet
> das, dass Spieler A mit einer Wahrscheinlicht von
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gewonnen hätte und Spieler B mit
> [mm]\bruch{3}{4}.[/mm]
>
>
> Berechnen die das nicht so: [mm]|\Omega[/mm] |=4
>
> A hat 1 Möglichkeit und B 3. und deswegen die oben
> geannten Wahrscheinlichkeiten???
so kann man es rechnen. Alternative wäre:
[mm] P(AA)=\left(\bruch{1}{2}\right)^2=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] P(AB)=\left(\bruch{1}{2}\right)^2=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] P(B)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Letztendlich fasst man ja in dem Ereignis 'B' die beiden Fälle 'A' oder 'B' für die letzte Runde einfach zusammen.
Und das ergibt jetzt eben auch:
P('A [mm] gewinnt')=P(AA)=\bruch{1}{4}
[/mm]
P('B [mm] gewinnt')=P(AB)+P(B)=\bruch{3}{4}
[/mm]
Gruß, Diophant
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Und wäre es dann für [mm] \Omega =\{AA, AB, B \} [/mm] eher so
[mm] P(AA)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] P(AB)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] P(B)=\bruch{1}{2}
[/mm]
d.h. Spieler A gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und Spieler B mit einer Wahrscheinlich von [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{1}{2}=\bruch{3}{4}
[/mm]
Also kommt dasselbe wie bei [mm] \Omega =\{AA, AB, BA, BB \} [/mm] heraus, das kann ja auch nicht sein :-//
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Hallo,
> Also kommt dasselbe wie bei [mm]\Omega =\{AA, AB, BA, BB \}[/mm]
> heraus, das kann ja auch nicht sein :-//
wieso denn nicht? Das war doch der Sinn und Zweck der Übung. 
Gruß, Diophant
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Ja weil ich dachte, dass [mm] \Omega =\{AA, AB, B \} [/mm] nicht gleichverteilt ist, und [mm] \Omega =\{AA, AB, BA, BB \} [/mm] schon, also muss bei beiden was anderes herauskommen :-/ dewegen...
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Hallo,
> Ja weil ich dachte, dass [mm]\Omega =\{AA, AB, B \}[/mm] nicht
> gleichverteilt ist, und [mm]\Omega =\{AA, AB, BA, BB \}[/mm] schon,
> also muss bei beiden was anderes herauskommen :-/
> dewegen...
darauf habe ich dir weiter oben doch schon geantwortet. Die Wahrscheinlichkeit von AA ist in beiden Fällen 1/4; vielleicht hilft dir das, deinen Denbfehler zu finden.Denn das Ereignis 'AA' ist die einzige Möglichkeit für Spieler A, das Spiel zu gewinnen.
Gruß, Diophant
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Hmmmm,
irgendwie finde ich dann immer noch nicht den Unterschied zu beiden Mengen :-/
aber naja.
trotzdem vielen dank.
grüße
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Hallo,
> Hmmmm,
>
> irgendwie finde ich dann immer noch nicht den Unterschied
> zu beiden Mengen :-/
und ich verstehe immer noch nicht, worauf genau du hinauswillst?
Die Aufgabenstellung ist ja definitiv geklärt? Es geht einfach um zwei mögliche Wege, wie man diese Aufgabe angehen kann. Und wenn beide Wege im Sinne der Aufgabenstellung richtig sind, dann muss am Ende bei beiden auch das selbe herauskommen?
Beide Ansätze führen doch zu dem Resultat
P("A [mm] gewinnt")=\bruch{1}{4}
[/mm]
Da es kein Unentschieden geben kann, ist logischerweise in beiden Fällen
P("B gewinnt")=1-P("A [mm] gewinnt")=\bruch{3}{4}
[/mm]
Beim Ansatz mit
[mm] \Omega=\{AA;AB;BA;BB\}
[/mm]
sind die Wahrscheinlichkeiten gleich verteilt. Damit tritt jedes Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit P=1/4 ein.
Bei dem anderen Ansatz mit
[mm] \Omega=\{AA;AB;B\}
[/mm]
haben wir
[mm] P(AA)=\bruch{1}{4}; P(AB)=\bruch{1}{4} [/mm] u. [mm] P(B)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Wenn dir da jetzt immer noch etwas unklar ist, dann beschreibe mal noch genauer, wo du etwas anders siehst oder etwas nicht verstehst.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Do 05.07.2012 | | Autor: | steve.joke |
jetzt hat es klick gemacht
vielen, vielen dank.
grüße
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