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Hallo,
im Anschluss an die Idee von rabilein1 habe ich mir ein
Spiel ausgedacht, das z.B. an einem Jahrmarktsstand
angeboten werden könnte:
Zwei Spieler bezahlen je einen Einsatz von 25 € .
Dann zieht jeder aus einem Sack, der 36 Kugeln
(nummeriert von 1 bis 36) enthält, je eine Kugel.
Der Spieler, der die größere Zahl gezogen hat, erhält
soviele Euro ausbezahlt, wie seine Kugel anzeigt.
Derjenige mit der kleineren Zahl erhält aber als
Auszahlung doppelt so viele Euro, wie seine Kugel
anzeigt. Werden also etwa die Zahlen 26 und 8
gezogen, so werden insgesamt 26+2*8=42 € ausbezahlt.
Das übrig bleibende Geld bleibt beim Veranstalter, im
Beispiel 8 € .
Oft kommt es aber vor, dass die Einsätze nicht ausreichen,
um die Auszahlungen auszurichten. In diesen Fällen
zahlt der Veranstalter drauf.
Hie und da wird der Veranstalter darauf hingewiesen,
dass die Einsätze zu hoch seien. Darauf antwortet er,
dass er bei jedem Spiel mindestens 2+2*1=4 € ausbezahlt,
maximal jedoch 36+2*35=106 € , im Mittel also [mm] \frac{4+106}{2}=55 [/mm] €,
also klar mehr als seine Einnahmen von 2*25=50 € .
Damit beruhigt er im Allgemeinen die Anfrager, lässt
aber in einigen doch die Frage aufkeimen, weshalb
sich denn der Veranstalter einem auf die Länge für
ihn doch verlustreichen Spiel aussetzt ...
Nun die Fragen:
1.) Ist dieses Spiel für den Veranstalter tatsächlich auf
die Länge ein Verlustgeschäft, kommt er gerade "eben"
heraus oder bleiben ihm wirklich Einnahmen ?
2.) Was muss man zu der Argumentation des Veran-
stalters betr. die Höhe der Einsätze und Auszahlungen
aus statistischer Sicht sagen ?
3.) Wie viele Spiele wären nötig, damit dem Veran-
stalter im Ganzen mit mindestens 80% Wahrschein-
lichkeit eine Einnahme von wenigstens 100 € übrig
bleibt ?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Do 02.06.2011 | | Autor: | Blech |
Gibt's bei der 3 ne einfache Lösung, die ich nicht sehe, einen Trick (konjugierte Faltung oder so) oder willst Du hier MC Methoden trainieren? =)
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> Gibt's bei der 3 ne einfache Lösung, die ich nicht sehe,
> einen Trick (konjugierte Faltung oder so) oder willst Du
> hier MC Methoden trainieren? =)
Letzteres nicht. Ich denke nur, dass man die statistischen
Parameter (Erwartungswert, Varianz) der Auszahlungssumme
berechnen und dann eine Normalverteilung (als Näherung)
benutzen kann.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
hi... schöne aufgabe
wenn ich mich jetzt nicht verhauen habe, müsste das spiel einen erwartungswert
E(X) = -15540/630 + 50,00 = [mm] 25\bruch{1}{3}
[/mm]
haben und damit deutlich gewinnorientiert sein.
EDIT: ich habe einen Faktor 2 unterschlagen (Permutation), damit reduziert sich der Erwartungswert auf
E(X) = [mm] \bruch{-15540}{2*630} [/mm] + 50 = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
zu 2.)
es gibt 630 Paare Kugeln mit je unterschiedlichem Auszahlungswert. Wenn man sich die Verteilung genau anguckt, kann man genau sehen, in wie vielen Fällen der Veranstalter drauf zahlt - und dass (minimum+maximum)/2 Augenwäscherei ist... []
2+2*1 + 3+2*2 + 4+2*3 +...+ 36+2*35
3+2*1 + 4+2*2 +...+ 36+2*34
4+2*1 +...+ 36+2*33
......................
+ 36+2*1 = 15540
zu 3.)
also ich würde es jetzt innerhalb von 4 spielen erwarten, aber dabei bleiben die 80% unberücksichtigt... hab grad keine idee dazu
was meinst du?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
zu 2.) also er verliert nur in 72 von 630 fällen
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Hallo sangham,
> hi... schöne aufgabe
> wenn ich mich jetzt nicht verhauen habe, müsste das spiel
> einen erwartungswert
> E(X) = -15540/630 + 50,00 = [mm]25\bruch{1}{3}[/mm]
> haben und damit deutlich gewinnorientiert sein.
Falls du mit X den für den Veranstalter pro Spiel übrig
bleibenden Betrag meinst, so liegst du damit weit daneben
bzw. hast etwas missverstanden. Du musst zum Beispiel
beachten, dass bei jedem einzelnen Spiel jeder der
beiden Spieler seine Auszahlung erhält.
> zu 2.)
> es gibt 630 Paare Kugeln mit je unterschiedlichem
> Auszahlungswert. Wenn man sich die Verteilung genau
> anguckt, kann man genau sehen, in wie vielen Fällen der
> Veranstalter drauf zahlt - und dass (minimum+maximum)/2
> Augenwäscherei ist... []
>
> 2+2*1 + 3+2*2 + 4+2*3 +...+ 36+2*35
> 3+2*1 + 4+2*2 +...+ 36+2*34
> 4+2*1 +...+ 36+2*33
>
> ......................
> + 36+2*1
> = 15540
>
> zu 3.)
> also ich würde es jetzt innerhalb von 4 spielen erwarten,
> aber dabei bleiben die 80% unberücksichtigt... hab grad
> keine idee dazu
Bei einer durchschnittlichen Abschöpfung pro Spiel von
[mm] 25\bruch{1}{3} [/mm] € wäre dies der Erwartungswert für die Anzahl
Spiele, die für eine Einnahme von knapp über 100 € nötig
wären.
Aber: der Gewinn des Veranstalters pro Spiel (ohne seine
Kosten überhaupt mit einzubeziehen) ist wesentlich kleiner,
um nicht zu sagen extrem bescheiden ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Sa 04.06.2011 | | Autor: | sangham |
Was denn, [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] ? So wahnsinnig falsch kann der Ansatz doch nicht gewesen sein, grübel......
Ja, ich meine mit X, den Betrag den der Veranstalter übrig behält. Gruß
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> Was denn, [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm] ? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> So wahnsinnig falsch kann der
> Ansatz doch nicht gewesen sein, grübel......
>
> Ja, ich meine mit X, den Betrag den der Veranstalter übrig
> behält. Gruß
Pro Spiel kommen 2*25=50 € an Einsätzen herein,
und jeder der beiden Spieler erhält im Mittel (Erwar-
tungswert) [mm] 24\frac{2}{3} [/mm] € zurück. Für den Veranstalter
bleibt also im Mittel pro Spiel [mm] \frac{2}{3} [/mm] € zurück.
Wenn also z.B. 900 Spiele veranstaltet werden, so
bleiben für den Veranstalter (brutto) im Mittel [mm] \frac{2}{3}*900
[/mm]
=600€ übrig. Allerdings reichen 900 Spiele noch nicht
aus, um mit 80% Wahrscheinlichkeit Einnahmen von
mindestens 100€ zu garantieren. Dafür sind über 1000
Spiele nötig, genauer: mindestens 1059 Spiele.
Computersimulation bestätigt dieses rechnerische
Ergebnis. Bei 40 Läufen zu je 1060 Spielen zeigte
sich in 7 Läufen ein Verlust und in 2 Läufen ein Gewinn
kleiner als 100€ . Der größte Verlust belief sich auf
726€ !
LG Al-Chw.
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