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Grad Körpererweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 So 15.12.2013
Autor: Belleci

Aufgabe
Sei z [mm] \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} [/mm] algebraisch vom Grad n über [mm] \mathbb{Q}. [/mm] Zeige:
a) [mm] [\mathbb{Q}[z, \overline{z}]:[\mathbb{Q}[z+ \overline{z}]] \ge [/mm] 2.
b) Re(z) ist albegraisch vom Grad [mm] \le [/mm] n(n-1)/2 über [mm] \mathbb{Q}. [/mm]

Hallo,

ich weiß bei der Aufgabe gerade insgesamt nicht so wirklich, wie ich die lösen kann, ich komme auf keinen Ansatz.
Kann mir da bitte wer helfen?

Danke

        
Bezug
Grad Körpererweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 So 15.12.2013
Autor: felixf

Moin!

> Sei z [mm]\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}[/mm] algebraisch vom
> Grad n über [mm]\mathbb{Q}.[/mm] Zeige:
>  a) [mm][\mathbb{Q}[z, \overline{z}]:[\mathbb{Q}[z+ \overline{z}]] \ge[/mm]
> 2.

Der Grad einer Koerpererweiterung ist eine ganze Zahl [mm] $\ge [/mm] 1$. Wenn du also zeigen sollst, dass der Grad [mm] $\ge [/mm] 2$ ist, musst du nur zeigen dass er nicht 1 sein kann. Was bedeutet es, wenn er 1 ist?

>  b) Re(z) ist albegraisch vom Grad [mm]\le[/mm] n(n-1)/2 über
> [mm]\mathbb{Q}.[/mm]

Kannst du $Re(z)$ durch $z$ und [mm] $\overline{z}$ [/mm] ausdruecken?

Wenn ja, schau dir mehrere passende Koerpererweiterungen an und schaetze jeweils die Grade zwischen ihnen ab, um schliesslich eine Abschaetzung der Art [mm] $[\IQ(Re(z)) [/mm] : [mm] \IQ] \le [/mm] ...$ zu bekommen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Grad Körpererweiterung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Mo 16.12.2013
Autor: Belleci

Hallo Felix,

danke für deine Antwort.


> Der Grad einer Koerpererweiterung ist eine ganze Zahl [mm]\ge 1[/mm].
> Wenn du also zeigen sollst, dass der Grad [mm]\ge 2[/mm] ist, musst
> du nur zeigen dass er nicht 1 sein kann.

Ja klar, an sowas offensichtliches denke ich natürlich nicht. *Kopf auf den Tisch knall*

> Was bedeutet es,
> wenn er 1 ist?

Der Grad kann nur 1 sein bei der Identität.

>  
> >  b) Re(z) ist albegraisch vom Grad [mm]\le[/mm] n(n-1)/2 über

> > [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
>  
> Kannst du [mm]Re(z)[/mm] durch [mm]z[/mm] und [mm]\overline{z}[/mm] ausdruecken?
>  
> Wenn ja, schau dir mehrere passende Koerpererweiterungen an
> und schaetze jeweils die Grade zwischen ihnen ab, um
> schliesslich eine Abschaetzung der Art [mm][\IQ(Re(z)) : \IQ] \le ...[/mm]
> zu bekommen.
>  


Habe jetzt beide Teile gelöst,
vielen Dank nochmal. =)

Bezug
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