Grad des Polynoms < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Erstmal: Achtung, ich bin Physiker. Von daher entschuldigt bitte meine vielleicht etwas unmathematischen Formulierungen, was Differentialgleichungen betrifft.
Ich habe hier die Differentialgleichung
[mm]x*y'+x^2*y''=c^2*y[/mm]
wobei y eine Funktion von x und [mm] c^2 [/mm] eine Konstante ist. Ich hab die Funktion durch
[mm] u := x*y [/mm]
substituiert und bin dadurch auf die Differentialgleichung
[mm]u''=c^2*x^{-2}*u[/mm]
gekommen. Die Lösung ist also ein Polynom. Aus ähnlichen Problemen war mir dies bereits bekannt und ich weiß, dass das Polynom y (!) bei mir den grad c haben muss. Und genau den bekomme ich nicht bestimmt. Ich bin das wie folgt angegangen: sei g der Grad des Polynoms u. Dann muss doch gelten:
[mm] c^2=g*(g-1)=g^2-g \Rightarrow g^2-g-c^2=0 \Rightarrow g = \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + c^2}[/mm]
Damit komme ich doch aber nie und nimmer auf den grad c für das Polynom y...
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
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Hallo devilsdoormat,
> Hallo,
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> ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> gestellt.
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> Erstmal: Achtung, ich bin Physiker. Von daher entschuldigt
> bitte meine vielleicht etwas unmathematischen
> Formulierungen, was Differentialgleichungen betrifft.
>
> Ich habe hier die Differentialgleichung
>
> [mm]x*y'+x^2*y''=c^2*y[/mm]
>
> wobei y eine Funktion von x und [mm]c^2[/mm] eine Konstante ist. Ich
> hab die Funktion durch
>
> [mm]u := x*y[/mm]
>
> substituiert und bin dadurch auf die Differentialgleichung
>
> [mm]u''=c^2*x^{-2}*u[/mm]
>
> gekommen. Die Lösung ist also ein Polynom. Aus ähnlichen
> Problemen war mir dies bereits bekannt und ich weiß, dass
> das Polynom y (!) bei mir den grad c haben muss. Und genau
> den bekomme ich nicht bestimmt. Ich bin das wie folgt
> angegangen: sei g der Grad des Polynoms u. Dann muss doch
> gelten:
>
> [mm]c^2=g*(g-1)=g^2-g \Rightarrow g^2-g-c^2=0 \Rightarrow g = \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + c^2}[/mm]
>
> Damit komme ich doch aber nie und nimmer auf den grad c für
> das Polynom y...
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> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Probiere es mit dem Ansatz [mm]y=x^{r}[/mm]
>
> Vielen Dank!
Gruß
MathePower
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:) so einfach kann das Leben manchmal sein
Vielen Dank!!!
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