Grad eines Zerfällungskörpers < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zum Zerfällungskörper eines beliebigen irreduziblen Polynoms f [mm] \in \IQ[X]
[/mm]
Man kann doch eigentl. nur sagen, dass der Grad des Zerfällungskörpers N [mm] \le [/mm] (deg(f))! ist und außerdem deg(f) | (N/Q) .
Oder kann man noch genauere Aussagen machen? Ich habe oft gelesen, dass bei vielen Bsp. wie z.b. f(x) = [mm] x^{4}-5 [/mm] (N/K) = 4! oder [mm] f(x^{5}-2X [/mm] +2 ist (N/Q) auch = 5! aber kann man das so sagen? Ich meine, dass man nur obiges sagen kann (N/Q) [mm] \le [/mm] 4! bzw. 5! und 4 bzw. 5 teilt (N/Q).
HOffe ihr könnt mir helfen.
mfg
tobinator
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 19.03.2008 | | Autor: | tobinator |
Ups, hatte anstatt deg(f) 5 geschrieben...
Hoffe ihr könnt mir noch schnellstmöglich eine Antwort geben, habe näml. morgen Prüfung...
Ich will eigentl. nur wissen, ob der Grad des Zerfällungskörpers eines Polynoms [mm] \le [/mm] deg(f)! oder = deg(f)! ist, also welche Aussage, man sicher machen kann, kann ja auch beides zutreffen 
mfg
tobinator
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Mi 19.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich will eigentl. nur wissen, ob der Grad des
> Zerfällungskörpers eines Polynoms [mm]\le[/mm] deg(f)! oder =
> deg(f)! ist, also welche Aussage, man sicher machen kann,
> kann ja auch beides zutreffen
die zweite aussage ist im allgemeinen, aber auch für irreduzible polynome, falsch. etwa ist $L = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, [/mm] i)$ der zerfällungskörper über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] von $f = [mm] X^2 [/mm] - 4 [mm] \in \mathbb{Q}[X]$ [/mm] und $[L: [mm] \mathbb{Q}] [/mm] = 8 [mm] \not= [/mm] 24 = [mm] (\mathrm{deg} \, [/mm] f) !$.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mi 19.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hi Andreas
> > Ich will eigentl. nur wissen, ob der Grad des
> > Zerfällungskörpers eines Polynoms [mm]\le[/mm] deg(f)! oder =
> > deg(f)! ist, also welche Aussage, man sicher machen kann,
> > kann ja auch beides zutreffen
>
> die zweite aussage ist im allgemeinen, aber auch für
> irreduzible polynome, falsch. etwa ist [mm]L = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)[/mm]
> der zerfällungskörper über [mm]\mathbb{Q}[/mm] von [mm]f = X^2 - 4 \in \mathbb{Q}[X][/mm]
Du meinst $f = [mm] X^4 [/mm] - 2$ :)
Zur urspruenglichen Frage: der Koerper $K' = Q[x]/(f)$ kann als Zwischenkoerper zwischen $Q$ und $N$ aufgefasst werden; damit teilt $(K'/Q)$ den Grad $(N/Q)$ (Gradmultiplikationssatz). Jetzt ist aber $(K'/Q) = [mm] \deg [/mm] f$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Fr 21.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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