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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Do 22.04.2010 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen sie:
Für alle Polynome p1, p2 [mm] \in \IZ/4 \IZ [/mm] [T] gilt:
Grad(p1*p2)=Grad(p1)+Grad(p2). |
Hey, ich wollte mal fragen, ob meine Lösung so richtig ist. Wäre super, wenn mir das jemand bestätigen kann, oder mir meinen Fehler aufzeigen könnte.
Also:
Widerlegung durch Gegenbeispiel:
Betracte [mm] p1=T^2 [/mm] mit Grad(p1)=2 und [mm] p2=T^2 [/mm] mit Grad(p2)=2.
Dann: [mm] p1*p2=T^2*T^2=T^4=T^0=1 [/mm] mit Grad (p1*p2)=0.
Und dann gilt ja: Grad(p1)+Grad(p2)=4 [mm] \not= [/mm] 0 =Grad(p1*p2).
Kann man das einfach so machen?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
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Hallo aly19,
> Beweisen oder widerlegen sie:
> Für alle Polynome p1, p2 [mm]\in \IZ/4 \IZ[/mm] [T] gilt:
> Grad(p1*p2)=Grad(p1)+Grad(p2).
> Hey, ich wollte mal fragen, ob meine Lösung so richtig
> ist. Wäre super, wenn mir das jemand bestätigen kann,
> oder mir meinen Fehler aufzeigen könnte.
> Also:
> Widerlegung durch Gegenbeispiel:
> Betracte [mm]p1=T^2[/mm] mit Grad(p1)=2 und [mm]p2=T^2[/mm] mit Grad(p2)=2.
> Dann: [mm]p1*p2=T^2*T^2=T^4=T^0 [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Polynome aus [mm] $\IZ/4\IZ[T]$ [/mm] sind von der Gestalt [mm] $a_o+a_1T+a_2T^2+...+a_nT^n$, [/mm] wobei die Koeffizienten [mm] $a_k\in\IZ/4\IZ$ [/mm] sind.
Du kannst also nicht die Exponenten reduzieren, sondern musst die Koeffizienten [mm] $\operatorname{mod}4$ [/mm] verarzten.
Deine Idee, die Aussage durch ein Gegenbsp. zu widerlegen, ist aber schon genau richtig.
Suche mal mit meinem Hinweis oben geeignetere Polynome ...
Mehr will ich mal nicht sagen, du bist ja schon auf dem richtigen Weg!
> [mm] =1[/mm] mit Grad (p1*p2)=0.
> Und dann gilt ja: Grad(p1)+Grad(p2)=4 [mm]\not=[/mm] 0
> =Grad(p1*p2).
>
> Kann man das einfach so machen?
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 22.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Würde es dann so gehen:
[mm] p1=2T^2 [/mm] und [mm] p2=2*T^2 [/mm] jeweils mit Grad zwei und Das Produkt [mm] p1*p2=4T^4=0*T^4=0 [/mm] mit Grad -Unendlich?
oder hab ich es immer noch nicht verstanden?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Würde es dann so gehen:
> [mm]p1=2T^2[/mm] und [mm]p2=2*T^2[/mm] jeweils mit Grad zwei
Das ist ein gutes Bsp.!
> und Das Produkt
> [mm]p1*p2=4T^4=0*T^4=0[/mm] mit Grad -Unendlich? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder hab ich es immer noch nicht verstanden?
Wenn dich das Nullpolynom stört, nimm [mm] $p_1(T)=2T^2+1$ [/mm]
Im Allg. gilt [mm] $\operatorname{deg}(p\cdot{}q)\le\operatorname{deg}(p)+\operatorname{deg}(q)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 22.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Vielen Dank, jetzt hab ich das verstanden.
Kann ich hier noch eine Frage stellen?
Bin bei noch einer Aufgabe am Zettel hängen geblieben. Also:
Sei K ein endlicher Körper. Dann hat das Polynom [mm] p=T^{|K|}-T \in [/mm] K[T] die Eigenschaft p(k)=0 für alle k [mm] \in [/mm] K.
Und jetzt wieder beweisen oder widerlegen.
Also ich hab das mal für den Restklassenkörper [mm] \IZ/3\IZ [/mm] und [mm] \IZ/5\IZ [/mm] und den Körper F2 ausprobiert und da stimmt das. Würde ja gerne ein Gegenbeispiel finden, weils schön schnell geht. Aber nach dem Durchprobieren, scheint es ja vielleicht doch zu stimmen. Wie könnte ich das denn beweisen? Kann mir das jemand einen Tipp zum Vorgehen geben? Wäre Supi :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank, jetzt hab ich das verstanden.
> Kann ich hier noch eine Frage stellen?
> Bin bei noch einer Aufgabe am Zettel hängen geblieben.
> Also:
> Sei K ein endlicher Körper. Dann hat das Polynom
> [mm]p=T^{|K|}-T \in[/mm] K[T] die Eigenschaft p(k)=0 für alle k [mm]\in[/mm]
> K.
> Und jetzt wieder beweisen oder widerlegen.
>
> Also ich hab das mal für den Restklassenkörper [mm]\IZ/3\IZ[/mm]
> und [mm]\IZ/5\IZ[/mm] und den Körper F2 ausprobiert und da stimmt
> das. Würde ja gerne ein Gegenbeispiel finden, weils schön
> schnell geht. Aber nach dem Durchprobieren, scheint es ja
> vielleicht doch zu stimmen. Wie könnte ich das denn
> beweisen? Kann mir das jemand einen Tipp zum Vorgehen
> geben? Wäre Supi :)
Kennst du den kleinen Satz von Fermat?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Do 22.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Hallo, danke für die antwort.
Nein ich kenne den Satz nicht. Habe mir den mal bei Wiki angeguckt und weiß auch nicht wirklich, was ich damit anfangen muss. Was genau bedeutet denn a(mod p), ich kenne nur sowas wie [mm] \IZ [/mm] modulo n [mm] \IZ.
[/mm]
Aber die Restklassenkörper sind doch auch nicht alle endlichen Körper oder?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nein ich kenne den Satz nicht. Habe mir den mal bei Wiki
> angeguckt und weiß auch nicht wirklich, was ich damit
> anfangen muss.
Dort steht eine andere Version. Ich meine diese:
Sei $G$ eine endliche Gruppe mit Neutralelement $e$ und mit $n$ Elementen, und $g [mm] \in [/mm] G$. Dann gilt [mm] $g^n [/mm] = e$.
Falls ihr das nicht hattet: hattet ihr den Satz von Lagrange?
> Was genau bedeutet denn a(mod p), ich kenne
> nur sowas wie [mm]\IZ[/mm] modulo n [mm]\IZ.[/mm]
Die Schreibweise $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{p}$ [/mm] bedeutet, dass $p$ ein Teiler von $a - b$ ist. Oder auch, dass $a + [mm] p\IZ [/mm] = b + [mm] p\IZ$ [/mm] in [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] gilt.
> Aber die Restklassenkörper sind doch auch nicht alle
> endlichen Körper oder?
Nein, deswegen meinte ich auch nicht diese Verion
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Sa 24.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Wir hatten leider beides nicht. Ich müsste dann ja quasi diesen kleinen Satz von Fermat beweisen, weil wir das noch nicht hatten oder? Kann ihn ja nicht einfach verwenden ohne Beweis. Aus dem Satz folgt dann ja sofort die Behauptung. Gibt es nicht noch eine einfachere Möglichkeit?
Die Aussage ist also wahr?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir hatten leider beides nicht. Ich müsste dann ja quasi
> diesen kleinen Satz von Fermat beweisen, weil wir das noch
> nicht hatten oder? Kann ihn ja nicht einfach verwenden ohne
> Beweis.
Ja, du wirst ihn im wesentlichen beweisen muessen.
> Aus dem Satz folgt dann ja sofort die Behauptung.
> Gibt es nicht noch eine einfachere Möglichkeit?
Naja, wenn ihr noch andere Aussagen ueber endliche Koerper hattet, kann man mit denen vielleicht was machen. Vielleicht eine Aussage, dass die multiplikative Gruppe zyklisch der Ordnung $|K| - 1$ ist.
Aber ich kann leider nicht hellsehen
> Die Aussage ist also wahr?
Ja.
LG Felix
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