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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man berechne für f(x,y,z) = [mm] \wurzel{x²+y²+z²} [/mm] den Gradienten von f für alle Punkte ungleich dem Nullpunkt. Man erläutere das Ergebnis.
Wie lautet die Verallgemeinerung für den n-dim Raum? |
Guten Abend! 
also den gradient hab ich mal so berechnet:
gradf(x,y,z) = ( [mm] \bruch{x}{\wurzel{x²+y²+z²}},\bruch{y}{\wurzel{x²+y²+z²}}, \bruch{z}{\wurzel{x²+y²+z²}})
[/mm]
stimmt das so? Was kann ich denn an dem Ergebnis erläutern?
und die verallgemeinerung ist das so:
[mm] gradf(x_1,x_2,...,x_n) [/mm] = ( [mm] \bruch{x_1}{\wurzel{x_1²+x_2²+...+x_n²}},\bruch{x_2}{\wurzel{x_1²+x_2²+...+x_n²}}, [/mm] ...., [mm] \bruch{x_n}{\wurzel{x_1²+x_2²+...+x_n²}})
[/mm]
muss ich das dann auch noch beweisen? oder langt das als verallgemeinerung??
viele mathematische grüße
riley
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Hallo riley,
> Man berechne für f(x,y,z) = [mm]\wurzel{x²+y²+z²}[/mm] den
> Gradienten von f für alle Punkte ungleich dem Nullpunkt.
> Man erläutere das Ergebnis.
> Wie lautet die Verallgemeinerung für den n-dim Raum?
> Guten Abend!
>
> also den gradient hab ich mal so berechnet:
>
> gradf(x,y,z) = (
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x²+y²+z²}},\bruch{y}{\wurzel{x²+y²+z²}}, \bruch{z}{\wurzel{x²+y²+z²}})[/mm]
>
> stimmt das so? Was kann ich denn an dem Ergebnis
> erläutern?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") erstmal was bedeutet denn die funktion $f$? Zweitens: wie kannst du den gradienten schreiben, wenn du den faktor [mm] \frac1{...} [/mm] aus dem vektor rausholst? Drittens: was hat der gradient anschaulich gesehen grundsätzlich für eine bedeutung?
Gruß
Matthias
>
> und die verallgemeinerung ist das so:
>
> [mm]gradf(x_1,x_2,...,x_n)[/mm] = (
> [mm]\bruch{x_1}{\wurzel{x_1²+x_2²+...+x_n²}},\bruch{x_2}{\wurzel{x_1²+x_2²+...+x_n²}},[/mm]
> ...., [mm]\bruch{x_n}{\wurzel{x_1²+x_2²+...+x_n²}})[/mm]
> muss ich das dann auch noch beweisen? oder langt das als
> verallgemeinerung??
>
> viele mathematische grüße
> riley
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
Vielen Dank für Deine Hilfe!!
1.) ich denke die Funktion beschreibt die Oberfläche einer Kugel mit Radius r= [mm] \wurzel{x²+y²+z²}
[/mm]
2.) wenn ich den faktor raushole, sieht der gradient so aus:
(grad f)( x,y,z) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x²+y²+z²}} [/mm] (x,y,z)
3.) Der Gradient gibt die Richtung des stärksten Wachsens (oder Fallens) von der Funktion an und sein Betrag glaub die Stärke des Wachsens (Fallens). Geometrisch hat das ganze was mit diesen Niveauflächen zu tun, auf denen der Gradient druch den betreffenden Punkt senkrecht steht, aber das ist mir noch nicht so ganz klar....
Kann ich mir die Niveauflächen so vorstellen wie die Höhenlinien die ich von einer Funktion zeichnen kann? oder ist das sogar das gleiche?
hmm, aber bei dem gradienten hier wird ja dann alles durch die kugeloberfläche geteilt??
viele grüße
riley
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> 1.) ich denke die Funktion beschreibt die Oberfläche einer
> Kugel mit Radius r= [mm]\wurzel{x²+y²+z²}[/mm]
das stimmt nicht ganz... die funktion beschreibt den euklidischen abstand eines punktes zum nullpunkt. die niveauflächen der funktion sind die sphären.
>
> 2.) wenn ich den faktor raushole, sieht der gradient so
> aus:
> (grad f)( x,y,z) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x²+y²+z²}}[/mm] (x,y,z)
>
> 3.) Der Gradient gibt die Richtung des stärksten Wachsens
> (oder Fallens) von der Funktion an und sein Betrag glaub
> die Stärke des Wachsens (Fallens). Geometrisch hat das
> ganze was mit diesen Niveauflächen zu tun, auf denen der
> Gradient druch den betreffenden Punkt senkrecht steht, aber
> das ist mir noch nicht so ganz klar....
> Kann ich mir die Niveauflächen so vorstellen wie die
> Höhenlinien die ich von einer Funktion zeichnen kann? oder
> ist das sogar das gleiche?
das sollte eigentlich das gleiche sein, ja.
>
> hmm, aber bei dem gradienten hier wird ja dann alles durch
> die kugeloberfläche geteilt??
s.o.
eigentlich weißt du ja alles, um die frage zu beantworten. vielleicht zeichnest du dir nochmal eine skizze!
VG
Matthias
> viele grüße
> riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
Danke für deine Tipps.
Ja, nur mit der Skizze haut das nicht so ganz hin, weil ich mir das mit den Sphären noch gar nicht vorstellen kann... =?
Abstand zum Nullpunkt schon, d.h. ich dividiere ja dann durch den Betrag des Vektors (x,y,z), also durch seine Länge. .....d.h. ich hab einen Vektor der Länge 1 und der Punkt den Abstand 1 vom Ursprung... ??
und er gibt die Richtung des stärksten Wachsens an, aber weiter weiß ich leider nicht...
viele grüße
riley
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> Ja, nur mit der Skizze haut das nicht so ganz hin, weil
> ich mir das mit den Sphären noch gar nicht vorstellen
> kann... =?
wie gesagt, f beschreibt den abstand eines punktes zum NP. die niveaufläche von f zum wert 1 besteht jetzt zB. aus allen punkten des [mm] \IR^3, [/mm] die den abstand 1 zum NP haben, also ist es die ..... einheits-sphäre!
> Abstand zum Nullpunkt schon, d.h. ich dividiere ja dann
> durch den Betrag des Vektors (x,y,z), also durch seine
> Länge. .....d.h. ich hab einen Vektor der Länge 1....
der gradient hat die länge 1 richtig....
> und der
> Punkt den Abstand 1 vom Ursprung... ??
im allgemeinen nicht.
> und er gibt die Richtung des stärksten Wachsens an, aber
> weiter weiß ich leider nicht...
versuche nochmal die skizze!
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
>>wie gesagt, f beschreibt den abstand eines punktes zum NP. die niveaufläche von f zum wert 1 besteht jetzt zB. aus allen punkten des die den abstand 1 zum NP haben, also ist es die ..... einheits-sphäre!<<
das kann ich mir aber irgendwie nur als form einer kugel vorstellen, was ist denn eine sphäre genau??
ich hätte als skizze einen kreis mit r=1 um den Nullpunkt gezeichnet, ... aber dreidimensional ist das ja nicht... hmm
vielleicht hast du doch noch einen tipp für mich?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 07.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Als Kugel bezeichnet man in Mathe eine Vollkugel also ein echtes 3d [mm] Teil:$x^2+y^2+z^2\le r^2$ [/mm] Die sphäre dadegen ist eine 2 dimensionale Fläche, sozusagen die Oberfläche der Kugel. Die Niveauflächen deiner Funktion sind also Sphären. (Luftballons) (Es gibt natürlich auch die Verallgemeinerungen im [mm] \IR^{n})
[/mm]
Der gradient hat die Richtung (x,y,z) also radiale Richtung, steht also senkrecht auf den Sphären bzw. Niveauflächen! Und hat unabh. vom Ort die Länge 1.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Do 08.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
Danke für deine Antwort und erklärungen!
d.h. die Sphären sind die Luftballonhaut?? das is ein guter vergleich! 
was wäre dann die verallgemeinerung im [mm] R^n [/mm] ?
achso, ja stimmt eigentlich, hat egal wo immer länge die 1, aber was bedeutet "radiale" Richtung??
viele grüße riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Radial hast in Richtung des Radiusvektors, also senkrecht auf der Sphäre.
Da du dir den [mm] \IR^{4} [/mm] nicht vorstellen kannst, musst du schon dahin um zu fragen wie deren Luftballons aussehen. auf jeden Fall haben si die dimension 3
Gruss leduart
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