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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Engel205 |
Der Grandient von
1. f(x,y) = [mm] e^{x²+y²}
[/mm]
2. f(x,y) = (x²+2y²) [mm] e^{-(x²+y²)}
[/mm]
Diese Gradienten müssen bestimmt werden.
Ist der Gradient zu 1.
(2x [mm] e^{x²}, [/mm] 2y [mm] e^{y²}) [/mm] ???
und zu 2.
(-4x² [mm] e^{-x²}, [/mm] -8y² [mm] e^{-y²}) [/mm] ???
Oder hab ich da was falsch gemacht?
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> Der Grandient von
>
> 1. f(x,y) = [mm]e^{x²+y²}[/mm]
>
> 2. f(x,y) = (x²+2y²) [mm]e^{-(x²+y²)}[/mm]
>
> Diese Gradienten müssen bestimmt werden.
Also [mm]\mathrm{grad}(f)(x,y)=\big(f_x(x,y),f_y(x,y)\big)[/mm]
>
> Ist der Gradient zu 1.
> (2x [mm]e^{x²},[/mm] 2y [mm]e^{y²})[/mm] ???
Nein, denn es ist zum Beispiel [mm] $f_x(x,y)=e^{x^2+y^2}\cdot [/mm] 2x$. Es ist mir ein Rätsel, weshalb Du das [mm] $y^2$ [/mm] im Exponenten einfach hast fallenlassen. Analoges Problem bei Deinem [mm] $f_y(x,y)$.
[/mm]
>
> und zu 2.
> (-4x² [mm]e^{-x²},[/mm] -8y² [mm]e^{-y²})[/mm] ???
Nein, zur Berechnung von [mm] $f_x(x,y)$, [/mm] der partiellen Ableitung von $f(x,y)$ nach $x$, musst Du Produkt- und Kettenregel verwenden (aber richtig):
[mm]f_x(x,y)=2x\cdot e^{-(x^2+y^2)}+(x^2+2y^2)\cdot e^{-(x^2+y^2)}\cdot (-2x)[/mm]
Hier kannst Du natürlich noch den gemeinsamen Faktor [mm] $e^{-(x^2+y^2)}$ [/mm] ausklammern. Analog bei [mm] $f_y(x,y)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hä aber uns wurde gesagt dass man das partiell einmal nach x und dann einmal nach y ableiten muss und dabei die andere Variable als Konstante ansehen soll!
Deswegen verstehe ich deine Aussage nicht!
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> Hä aber uns wurde gesagt dass man das partiell einmal nach
> x und dann einmal nach y ableiten muss und dabei die
> andere Variable als Konstante ansehen soll!
Dies ist richtig: darin sind wir uns ja einig.
> Deswegen verstehe ich deine Aussage nicht!
Deswegen? - Ich bin der Meinung, dass Du die Kettenregel falsch angewandt hast. Vielleicht verstehst Du besser, weshalb Du den Summanden [mm] $y^2$ [/mm] im Exponenten nicht einfach weglassen kannst, wenn Du Dir klar machst, dass [mm] $e^{x^2+y^2}=e^{x^2}\cdot e^{y^2}$ [/mm] ist. Wenn Du also $y$ bei der Berechnung der partiellen Ableitung nach $x$ als Konstante behandelst, bleibt dieser Faktor [mm] $e^{y^2}$ [/mm] dennoch drin:
[mm]\big(e^{x^2+y^2}\big)' = \big(e^{x^2}\cdot e^{y^2}\big)'= e^{x^2}\cdot 2x\cdot e^{y^2}=2x\cdot e^{x^2+y^2}[/mm]
Aber niemand würde diese Ableitung nach $x$ so berechnen: stattdessen wendet jedermann die Kettenregel an (aber eben: man muss sie richtig anwenden). Ich erhalte auf beiden Wegen das Ergebnis [mm] $f_x(x,y)=2x e^{x^2\red{+y^2}}$. [/mm] Du, andererseits, erhältst [mm] $f_x(x,y)=2x e^{x^2}$ [/mm] und dies ist meiner unmassgeblichen Meinung nach falsch.
Vielleicht musst Du von der Hast der Prüfungsvorbereitung einen kleinen Moment herunterbremsen und nochmals genau schauen, wie die Kettenregel angewandt wird. Der Exponent [mm] $x^2+y^2$ [/mm] ist ja dabei die sog. "innere Funktion". Diese wird zunächst nicht abgeleitet sondern nur in die Ableitung der "äusseren Funktion" (der Exponentialfunktion) eingesetzt. Dann multipliziert man dies noch mit der Ableitung der inneren Funktion. Den zweiten Schritt, das Multipizieren mit der Ableitung der inneren Funktion hast Du richtig gemacht. Was falsch war ist einfach dies: Du hast nicht die ursprüngliche innere Funktion, nämlich [mm] $x^2\red{+y^2}$ [/mm] in die Ableitung der Exponentialfunktion eingesetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Engel205 |
Ja das ist mir schon alles klar dass die Kettenregel innere mal äußere Ableitung heißt.... und wie man sie anwendet weiß ich auch, war nur verwirrt dadurch, dass man es das y als Konstante behandeln soll, aber wenn du mir das so sagst, dass [mm] e^{x²+y²} [/mm] = [mm] e^{x²} e^{y²} [/mm] ist, dann ist das wieder klar, hatte diese Gleichheit nur leider vergessen... danke trotzdem, also muss ich bei beiden Aufgaben, dass y² mit beachten....
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> war nur verwirrt dadurch, dass man
> es das y als Konstante behandeln soll, aber wenn du mir das
> so sagst, dass [mm]e^{x²+y²}[/mm] = [mm]e^{x²} e^{y²}[/mm] ist, dann ist das
> wieder klar, hatte diese Gleichheit nur leider vergessen...
Hallo,
ich habe mir am Anfang durch einen (wenig originellen) Trick geholfen:
wenn ich [mm] e^{x²+y²} [/mm] nach x ableiten sollte, habe ich mir zuerst überlegt, was die Ableitung von [mm] e^{x²+9} [/mm] wäre - für den Anfang ist das hilfreich.
> danke trotzdem, also muss ich bei beiden Aufgaben, dass y²
> mit beachten....
Wenn Du nach y ableitest, behandelst Du y als Variable und x als Konstante, wenn Du nach x ableitest, behandelst Du x als Variable und y als Konstante.
Gruß v. Angela
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Nur der Vollständigkeit halber. Für Aufgabe 1, also [mm] $f(x,y)=e^{x^2+y^2}$, [/mm] erhalte ich
[mm]\mathrm{grad}f(x,y)=\big(2x e^{x^2+y^2},2y e^{x^2+y^2}\big)[/mm]
Für Aufgabe 2, also [mm] $f(x,y)=(x^2+2y^2)e^{-(x^2+y^2)}$, [/mm] erhalte ich
[mm]\mathrm{grad}f(x,y)=\big(2x(1-x^2-2y^2)e^{-(x^2+y^2)},2y(2-x^2-2y^2) e^{-(x^2+y^2)}\big)[/mm]
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