Gradient Nabla < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Phecda |
hallo
was ist eigentlich der Unterschied zwischen dem Gradient und dem Differentialoperator Nabla?
Welche anschauliche Funktion haben sie in einem Skalarfeld und welche physikalische Anwendung?
Auch wenn die Fragen wahscheinlich zu allgemein formuliert sind, bin ich für jede Erklärung dankbar :)
mfg Phecda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Sa 17.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Zum formalen: Nabla [mm] \nabla [/mm] ist erstmal nur ein Operator, der formal als Vektor geschrieben wird:
[mm]\nabla = \vektor{\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}}[/mm]
Durch diese Schreibweise lassen sich die üblichen Operatoren der Vektoranalysis recht kompakt unter verwendung von [mm] \nabla [/mm] schreiben.
Für eine skalare Funktion [mm]f: \IR^3 \rightarrow \IR[/mm] hat man
[mm]\nabla f(x,y,z) = \vektor{\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z)\\ \frac{\partial}{\partial y}f(x,y,z)\\ \frac{\partial}{\partial z}f(x,y,z)[/mm]
Das ist aber gerade der Gradient. Bis hierher ist also noch nicht viel gewonnen.
Interessanter wird es erst, wenn man auch noch Vektorwertige Funktionen [mm]f: \IR^3 \rightarrow \IR^3[/mm] betrachtet. Hier kann man den formalen Vektor [mm] \nabla [/mm] ja auf zwei Arten mit dem Vektor f(x,y,z) verknüpfen:
1. Als Skalarprodukt:
[mm]\nabla \cdot f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x}f_x(x,y,z) + \frac{\partial}{\partial y}f_y(x,y,z) + \frac{\partial}{\partial z}f_z(x,y,z) [/mm]
Was dabei rauskommt ist aber gerade das, was die Vektoranalysis als "Divergenz" div f des Vektorfelds f bezeichnet.
2. Als Kreuzprodukt:
[mm]\nabla \times f(x,y,z) = ...[/mm]
Du entschuldigst, wenn ich das jetzt nicht ausschreibe, als Fleissarbeit kannst Du das ja mal ausrechnen... Auf jeden Fall ergibt das einen Vektor, der üblicherweise als "Rotation" von f bezeichnet wird.
Fazit: Die Vektoranalysis hat drei häufig vorkommende Differentialoperatoren: Gradient grad, Divergenz div und Rotation rot. Durch die Einführung des Formalen Vektors [mm] \nabla [/mm] kann man die alle mit einem Symbol kompakt hinschreiben.
Das ist denke ich das, was [mm] \nabla [/mm] vom reinen Gradienten unterscheidet.
Zu den bedeutungen:
Gradient: eine skalare Funktion [mm] \IR^2\to\IR [/mm] kann man sich ja z.B. durch ein Höhenprofil veranschaulichen. Der Gradient der Funktion gibt dann die Richtung an, in der die Funktion am steilsten ansteigt. Beim [mm] \IR^3 [/mm] ist das entsprechend, nur dass man sich da das "Gebirge" nicht mehr richtig vorstellen kann...
Für die anderen beiden Operatoren stellen wir uns das Vektorfeld mal als Strömungen in einer Flüssigkeit vor.
Die Divergenz gibt dann an, wieviel Flüssigkeit aus einem infinitesimal kleinen Volumen an der gegebenen Stelle herausfließen würde.
Die Rotation gibt grob gesagt die Stärke und Orientierung eines infinitesimalen "Wirbels" an der Stelle an (rot steht Senkrecht auf der Wirbelebene und der Betrag gibt die Stärke an).
Gruß
piet
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