Gradient & Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Do 30.07.2009 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x,y) = [mm] cos(x)e^{y} [/mm] für (x,y) [mm] \in\IR²
[/mm]
1. Berechnen Sie den Gradienten der Funktion.
2. In welcher richtung wächst die Funktion im Punkt [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] = [mm] (\bruch{\pi}{4},0) [/mm] am stärksten
3. Bestimmen Sie für die Richtung [mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] (1,1) die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial\omega} (\bruch{\pi}{4},0) [/mm] . |
1.
Um den Gradienten zu berechnen habe ich zunächst die ersten Ableitungen bestimmt:
f'_{x} (x,y) = [mm] -sin(x)*e^{y}
[/mm]
f'_{y} (x,y) = [mm] cos(x)*e^{y}
[/mm]
und habe daraus den Gradienten bestimmt:
grad = [mm] \pmat{ -sin(x)*e^{y} \\ cos(x)*e^{y} }
[/mm]
2. Um die Richtung zu finden, in welche die Funktion im Punkt [mm] (\bruch{\pi}{4},0) [/mm] am meisten wächst, setzte ich die Werte für x und y in die Matrix des Gradienten ein.
Das Ergebnis x = 0,0137 und y = 0,9999 zeigt mir,
dass die Funktion im Pumkt am stärkstens in y Richtung wächst.
3. Ich habe überhaupt kein plan wie ich diese Richtungsableitung bestimmen soll. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank für Euer bemühen.
Mit freundlichen Grüßen
Jojo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktion f(x,y) = [mm]cos(x)e^{y}[/mm] für (x,y)
> [mm]\in\IR²[/mm]
>
> 1. Berechnen Sie den Gradienten der Funktion.
>
> 2. In welcher richtung wächst die Funktion im Punkt
> [mm](x_{0},y_{0})[/mm] = [mm](\bruch{\pi}{4},0)[/mm] am stärksten
>
> 3. Bestimmen Sie für die Richtung [mm]\omega[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] (1,1) die Richtungsableitung
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial\omega} (\bruch{\pi}{4},0)[/mm] .
> 1.
>
> Um den Gradienten zu berechnen habe ich zunächst die
> ersten Ableitungen bestimmt:
>
> f'_{x} (x,y) = [mm]-sin(x)*e^{y}[/mm]
>
> f'_{y} (x,y) = [mm]cos(x)*e^{y}[/mm]
Lass die striche weg ! [mm] f_{x}(x,y)
[/mm]
>
> und habe daraus den Gradienten bestimmt:
>
> grad = [mm]\pmat{ -sin(x)*e^{y} \\ cos(x)*e^{y} }[/mm]
Richtig
>
> 2. Um die Richtung zu finden, in welche die Funktion im
> Punkt [mm](\bruch{\pi}{4},0)[/mm] am meisten wächst, setzte ich die
> Werte für x und y in die Matrix des Gradienten ein.
>
> Das Ergebnis x = 0,0137 und y = 0,9999
Wie kommst Du denn auf so etwas ?????
> zeigt mir,
> dass die Funktion im Pumkt am stärkstens in y Richtung
> wächst.
Unfug !
>
>
> 3. Ich habe überhaupt kein plan wie ich diese
> Richtungsableitung bestimmen soll.
Wie ist denn eine Richtungsableitung definiert ??
FRED
> Wäre super wenn mir
> jemand helfen könnte.
>
> Vielen Dank für Euer bemühen.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Jojo
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