Gradient berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Hallo Leute!
ich habe mal wieder eine Frage. Angenommen ich habe eine Funktion
[mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] , [mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \\ (x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)), & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] .
Wenn ich den Gradient in (0,0) berechnen will, reicht dann einfach die Argumentation: ich leite 0 einmal nach x und einmal nach y ab und damit ist der Gradient (0,0) oder muss ich tatsächlich untersuchen, ob
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f((0,0)+h*e_i) - f(0,0))}{h} [/mm] existiert für i=1,2?
Intuitiv würde ich sagen, dass ich nicht einfach die 0 zweimal ableiten darf, aber ich weiß nicht wirklich wieso....
Kann mir jemand helfen?
Danke schonmal 
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> Hallo Leute!
> ich habe mal wieder eine Frage. Angenommen ich habe eine
> Funktion
> [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] , [mm]f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \\ (x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)), & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
> .
> Wenn ich den Gradient in (0,0) berechnen will, reicht dann
> einfach die Argumentation: ich leite 0 einmal nach x und
> einmal nach y ab und damit ist der Gradient (0,0) oder muss
> ich tatsächlich untersuchen, ob
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f((0,0)+h*e_i) - f(0,0))}{h}[/mm]
> existiert für i=1,2?
Das mit dem "ich leite einfach ab ..." ist so einfach auch wieder nicht, da f in 0 ja eine Singularität hat.
Grudsätzlich reicht es schon, die Ableitung nach x für festes y=0 und umgekehrt zu betrachten.
Aber diese Ableitung sind ja gerade definiert als
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f((0,0)+h*e_i) - f(0,0))}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(h,0)}{h} [/mm] (für i=1; für i=2 analog)
> Intuitiv würde ich sagen, dass ich nicht einfach die 0
> zweimal ableiten darf, aber ich weiß nicht wirklich
> wieso....
Der Gradient besteht nur aus 1. Ableitungen, d.h. zweite Ableitungen (die in der Tat nicht existieren) spielen hier keine Rolle.
> Kann mir jemand helfen?
> Danke schonmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Hi!
Erstmal danke für deine Antwort.
Heißt das also nun, dass ich das tatsächlich so machen darf?
Also naiv ausgedrückt, einmal die 0 nach x und einmal nach y ableiten?
Finde ich jetzt etwas verwirrend. Ich dachte bisher, dass man immer den obigen Grenzwert betrachten muss, denn ich habe in Erinnerung dass es in der Tat Aufgaben gibt, bei denen dieser Grenzwert nicht 0 ist, obwohl die Funktion im Ursprung auch den Wert 0 annimmt!
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> Hi!
> Erstmal danke für deine Antwort.
> Heißt das also nun, dass ich das tatsächlich so machen
> darf?
> Also naiv ausgedrückt, einmal die 0 nach x und einmal
> nach y ableiten?
> Finde ich jetzt etwas verwirrend. Ich dachte bisher, dass
> man immer den obigen Grenzwert betrachten muss, denn ich
> habe in Erinnerung dass es in der Tat Aufgaben gibt, bei
> denen dieser Grenzwert nicht 0 ist, obwohl die Funktion im
> Ursprung auch den Wert 0 annimmt!
Zunächst erstmal: Die partiellen Ableitungen, die die Komponenten des Gradienten bilden, sind ja nichts anderes als Ableitung nach x bei festgehaltenem y und umgekehrt (genau das sagt "dieser Grenzwert" aus).
Das Problem, das dabei auftreten kann, ist dass die partiellen Ableitungen nicht automatisch eine totale Ableitung bilden. Für die totale Differenzierbarkeit muss der Grenzwert
[mm] \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\|(x,y)\|} [/mm] betrachtet werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Ok, ich denke, das habe ich verstanden:
Wenn ich also nur die partiellen Ableitungen
betrachte, ist obige "naive" Vorgehensweise ok.
Bei totaler Diffbarkeit, muss ich natürlich den
Grenzwert betrachen?!
Wenn das nun stimmt, ist meine Frage beantwortet!
Danke dir
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> Ok, ich denke, das habe ich verstanden:
> Wenn ich also nur die partiellen Ableitungen
> betrachte, ist obige "naive" Vorgehensweise ok.
> Bei totaler Diffbarkeit, muss ich natürlich den
> Grenzwert betrachen?!
> Wenn das nun stimmt, ist meine Frage beantwortet!
> Danke dir
Ja, stimmt. Wobei aus Stetigkeit der partiellen Ableitungen automatisch totale Differenzierbarkeit folgt. Nur leider sind bei deiner Aufgabe die partiellen Ableitungen unstetig in (0,0).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hi!
> > Erstmal danke für deine Antwort.
> > Heißt das also nun, dass ich das tatsächlich so
> machen
> > darf?
> > Also naiv ausgedrückt, einmal die 0 nach x und einmal
> > nach y ableiten?
> > Finde ich jetzt etwas verwirrend. Ich dachte bisher,
> dass
> > man immer den obigen Grenzwert betrachten muss, denn ich
> > habe in Erinnerung dass es in der Tat Aufgaben gibt, bei
> > denen dieser Grenzwert nicht 0 ist, obwohl die Funktion im
> > Ursprung auch den Wert 0 annimmt!
> Zunächst erstmal: Die partiellen Ableitungen, die die
> Komponenten des Gradienten bilden, sind ja nichts anderes
> als Ableitung nach x bei festgehaltenem y und umgekehrt
> (genau das sagt "dieser Grenzwert" aus).
> Das Problem, das dabei auftreten kann, ist dass die
> partiellen Ableitungen nicht automatisch eine totale
> Ableitung bilden. Für die totale Differenzierbarkeit muss
> der Grenzwert
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\|(x,y)\|}[/mm]
> betrachtet werden.
Damit bin ich nicht einverstanden ! Ist f in (0,0) partiell differenzierbar, so gilt:
f ist in (0,0) total differenzierbar [mm] \gdw[/mm] [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\|(x,y)\|}=0[/mm]
Ist f in (0,0) nicht partiell differenzierbar,so hat sich die Frage nach der totalen Differenzierbarkeit in (0,0) erledigt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Fr 11.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> > > Hi!
> > > Erstmal danke für deine Antwort.
> > > Heißt das also nun, dass ich das tatsächlich so
> > machen
> > > darf?
> > > Also naiv ausgedrückt, einmal die 0 nach x und
> einmal
> > > nach y ableiten?
> > > Finde ich jetzt etwas verwirrend. Ich dachte bisher,
> > dass
> > > man immer den obigen Grenzwert betrachten muss, denn ich
> > > habe in Erinnerung dass es in der Tat Aufgaben gibt, bei
> > > denen dieser Grenzwert nicht 0 ist, obwohl die Funktion im
> > > Ursprung auch den Wert 0 annimmt!
> > Zunächst erstmal: Die partiellen Ableitungen, die die
> > Komponenten des Gradienten bilden, sind ja nichts anderes
> > als Ableitung nach x bei festgehaltenem y und umgekehrt
> > (genau das sagt "dieser Grenzwert" aus).
> > Das Problem, das dabei auftreten kann, ist dass die
> > partiellen Ableitungen nicht automatisch eine totale
> > Ableitung bilden. Für die totale Differenzierbarkeit muss
> > der Grenzwert
> > [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\|(x,y)\|}[/mm]
> > betrachtet werden.
>
>
> Damit bin ich nicht einverstanden ! Ist f in (0,0) partiell
> differenzierbar, so gilt:
>
> f ist in (0,0) total differenzierbar [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\|(x,y)\|}=0[/mm]
>
> Ist f in (0,0) nicht partiell differenzierbar,so hat sich
> die Frage nach der totalen Differenzierbarkeit in (0,0)
> erledigt.
>
> FRED
>
Damit hast du natürlich recht. Wobei im betrachteten Beispiel die partiellen Ableitungen 0 sind und damit der Grenzwert auf das gleiche hinausläuft.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> Erstmal danke für deine Antwort.
> Heißt das also nun, dass ich das tatsächlich so machen
> darf?
> Also naiv ausgedrückt, einmal die 0 nach x und einmal
> nach y ableiten?
Das ist Unfug. Für die partielle Ableitung nach x mußt Du den Quotienten
[mm] \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}
[/mm]
untersuchen auf sein Verhalten für h [mm] \to [/mm] 0.
Entspr. gilt für die part. Abl. nach y.
> Finde ich jetzt etwas verwirrend. Ich dachte bisher, dass
> man immer den obigen Grenzwert betrachten muss,
Hab ich ja oben gesagt .
FRED
>denn ich
> habe in Erinnerung dass es in der Tat Aufgaben gibt, bei
> denen dieser Grenzwert nicht 0 ist, obwohl die Funktion im
> Ursprung auch den Wert 0 annimmt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Hi Fred!
Danke für dein Feedback! Ehrlich gesagt, habe ich von Anfang an mit dieser Antwort gerechnet, mir hat nur die Begründung gefehlt, wieso ich nicht " die 0 so naiv ableiten darf". Und diese Begründung fehlt mir immernoch. Zufälligerweise ist ja hier der Grenzwert, den wir betrachten auch 0....
Danke!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mathec |
also kann mir nochmal jemand eine Begründung geben, wieso ich das nicht so machen darf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> also kann mir nochmal jemand eine Begründung geben, wieso
> ich das nicht so machen darf?
Hab ich gerade getan
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Erinnere Dich an die Schulzeit:
Betrachten wir [mm] f(x)=x^2+sin(x).
[/mm]
Es ist f(0)=0. Wenn Du die Ableitung in x=0 berechnen sollst, hast Du dann jemals "die 0 abgeleitet" ? Wohl kaum.
Es ist f'(0)=1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Aber in deinen Beispiel ist due 0 keine Singularität, wie in dem 1. Beispiel...und das hat mich bisher immer verwirrt, denn bei dem 1. Beispiel ist die Funktion fest so definiert, dass sie im Ursprung den Wert 0 annimmt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aber in deinen Beispiel ist due 0 keine Singularität,
Was redest Du von Singularität ?
Bitteschön, dann machens wir so ?
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ x^2+sin(x), & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] $ .
FRED
> wie
> in dem 1. Beispiel...und das hat mich bisher immer
> verwirrt, denn bei dem 1. Beispiel ist die Funktion fest so
> definiert, dass sie im Ursprung den Wert 0 annimmt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Ich rede von Singularität, weil bei der ersten Aufgabe bei sin [mm] (1/(x^2+y^2)) [/mm] bei (x,y)=(0,0) nunmal eine Singularität existiert. Und damit war die Funktion im Ursprung nun mal als 0 definiert!! Bei deinem Beispiel war dies nicht der Fall...
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