Gradientenverfahren, Menge < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F eine stetig differenzierbare Funktion : [mm] \IR^n \to \IR [/mm] , [mm] x^{(0)} \in \IR^n [/mm] gegeben. Die Menge [mm] L(x^{(0)}) [/mm] := {x [mm] \in \IR^n [/mm] | F(x) [mm] \le F(x^{(0))} [/mm] } sei beschränkt.
Das Gradientenverfahren breche nicht nach endlich vielen Schritten ab, also [mm] d^{(m)} \not= [/mm] 0 für alle m [mm] \in \IN
[/mm]
Zeigen Sie:
Dann gilt:
i) für jedes m [mm] \in \IN [/mm] gibt es ein [mm] \varepsilon_m [/mm] > 0 mit [mm] x^{(m)} \in L(x^{(0)} \Rightarrow x^{(m)} [/mm] + [mm] td^{(m)} \in L(x^{(0)}) [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \varepsilon_m] [/mm] , es gilt sogar [mm] F(x^{(m)} +td^{(m)}) [/mm] < [mm] F(x^{(m)} [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \varepsilon_m] [/mm] .
ii)die Folge [mm] F(x^{(m)}) [/mm] konvergiert in [mm] \IR [/mm] .
iii) die Folge [mm] F(x^{(m)}) [/mm] ist beschränkt. |
Huhu,
Ja die Aufgabe sieht hammer schwer aus, ist sie wahrscheinlich auch^^ Unsere Definition des Gradientenverfahren:
Sei [mm] x^{(0)} \in \IR^n [/mm] gegeben. Für m = 1,2,... berechne:
[mm] d^{(m)} [/mm] = - [mm] F´(x^{(m)})^t
[/mm]
Ist [mm] d^{(m)} [/mm] = 0 , so stoppe. Sonst bestimme [mm] t^{(m)} \in [0,\infty) [/mm] sodass
[mm] F(x^{(m)} [/mm] + [mm] t^{(m)} d^{(m)} [/mm] )= [mm] inf_{s \in [0,\infty) } F(x^{(m)} [/mm] + s [mm] d^{(m)} [/mm] )
Setze dann [mm] x^{( m+1)} [/mm] = [mm] x^{(m)} [/mm] + [mm] t^{(m)} d^{(m)}
[/mm]
Der Punkt 3 ist denke ich klar durch Definition der Menge und der Stetigkeitseigenschaft.
Punkt 2 mit der Konvergenz muss ich wohl noch Monotonie zeigen ( fallend soviel ich theoretisch weiß)
Aber was fang ich mitPunkt 1 an? Das sieht so schwer aus.... Hoffentlich könnt ihr mir da helfen...^^
Lg,
Eve
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 17.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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