Gramsche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mo 19.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo miteinander.Ich hab ein Problem mit der Berechnung der Gramschen Matrix. Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Berechne die darstellende Matrix der Bilinearform
<f,g>:= [mm] \integral_{0}^{1}f(X)g(X)dX
[/mm]
auf V bezüglich der Basis [mm] B={1,X,...X^n}.
[/mm]
Die Gramsche Matrix ist ja, bezüglich der Basis B mit den Einträgen [mm] b_i, [/mm] definiert als [mm] G_b= [/mm] wobei <,> ja das Skalarprodukt ist.
Also, ich hab sie mal versuch aufzustellen bin aber aber überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt:
Ich nehm das erste Element aus der Basis, und setze es in das oben def. Skalarprodukt [mm] ein:=\integral_{0}^{1}1*1 [/mm] dx= [mm] \integral_{0}^{1}x [/mm] dx=1?
Dann weiter [mm] =\integral_{0}^{1}1*x=\integral_{0}^{1}x dx=1,...=\integral_{0}^{1}1*x^n=1, [/mm] so das ich als meine erste Spalte eine Spalte hab, die aus lauter Einsen besteht!? Ich glaub das ist wohl nicht richtig, aber zu ne'm anderen Ansatz kam ich jetzt nicht. Wäre nett, wenn mir da wer helfen könnte.
Danke im vorraus
grüße Benno
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Hallo bennoO.,
> Hallo miteinander.Ich hab ein Problem mit der Berechnung
> der Gramschen Matrix. Ich soll folgende Aufgabe lösen:
> Berechne die darstellende Matrix der Bilinearform
> <f,g>:= [mm]\integral_{0}^{1}f(X)g(X)dX[/mm]
> auf V bezüglich der Basis [mm]B={1,X,...X^n}.[/mm]
>
> Die Gramsche Matrix ist ja, bezüglich der Basis B mit den
> Einträgen [mm]b_i,[/mm] definiert als [mm]G_b=[/mm] wobei <,> ja das
> Skalarprodukt ist.
> Also, ich hab sie mal versuch aufzustellen bin aber aber
> überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt:
> Ich nehm das erste Element aus der Basis, und setze es in
> das oben def. Skalarprodukt
> [mm]ein:=\integral_{0}^{1}1*1[/mm] dx= [mm]\integral_{0}^{1}x[/mm]
> dx=1?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann weiter
> [mm]=\integral_{0}^{1}1*x=\integral_{0}^{1}x dx=1,...=\integral_{0}^{1}1*x^n=1,[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> so das ich als meine erste Spalte eine Spalte hab, die aus
> lauter Einsen besteht!? Ich glaub das ist wohl nicht
> richtig, aber zu ne'm anderen Ansatz kam ich jetzt nicht.
> Wäre nett, wenn mir da wer helfen könnte.
Der Ansatz ist schon richtig, nur das Integral wurde falsch ausgerechnet.
(siehe Integrationsregel)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:59 Di 20.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
hallo mathepower.
danke für deine schnelle antwort. ja, öm, ist mir jetzt sogar was peinlich. also normalerweise weiß ich auch wie ich integrier. hab da bei den bildungen der stammfuktionen einfach nicht aufgepasst.
also, als grammsche matrix hab ich nun folgendes raus:
[mm] \cal{A}_B= \pmat{ 1 & \bruch{1}{2}..... & \bruch{1}{n+1} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3}.....& \bruch{1}{n+2} \\ \bruch{1}{3} &\bruch{1}{6}...... & \bruch{1}{n+3} \\ ...... & .... & ..... \\ \bruch{1}{n+1} & \bruch{1}{n+3} & ....... \bruch{1}{2n+1}}
[/mm]
stimmt so?! also ich muß da noch später ne'n Basiswechsel mit machen; wäre nett von dir wenn du da vielleich auch mal kurz drüber gucken könntest, aber ich versuch das nachher erstmal selber, und poste dann.
danke nochmal
grüße benno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Di 20.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Benno!
> [mm]\cal{A}_B= \pmat{ 1 & \bruch{1}{2}..... & \bruch{1}{n+1} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3}.....& \bruch{1}{n+2} \\ \bruch{1}{3} &\bruch{1}{6}...... & \bruch{1}{n+3} \\ ...... & .... & ..... \\ \bruch{1}{n+1} & \bruch{1}{n+3} & ....... \bruch{1}{2n+1}}[/mm]
Grundsätzlich ist das richtig, ich nehme auch an, dass du das richtige meinst. Der Eintrag in der $n$-ten Zeilen und zweiten Spalte muss natürlich [mm] $\frac{1}{n+2}$ [/mm] heißen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 20.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo nochmal.
Hm, hab mich mal an den noch gestern angekündigten Basiswechsel drangegeben, doch leider weiß ich nicht ob mein Ansatz hier so stimmt. Die Aufgabe lautet einen Basiswechsel zwischen der Basis B und der Basis [mm] C:={\bruch{X^{i+1}-1}{X-1} :i=0,....,n} [/mm] zu berechnen.
Die Basis von B lautete [mm] B={1,X,....,X^n}.
[/mm]
Könnte ich die Berechnung der Transformationsmatrix äquivalent zur der von Endomorphismen durchführen? Ich weiß zwar, das ich zum Schluss [mm] S^t [/mm] statt S^(-1) habe, aber erstmal muß ich ja S bestimmen. Also wie gesagt, könnte ich z.b jetzt einfach die neue Basis nehmen und versuchen diese, durch eine Linearkombination der "alten" Basisvektoren auszudrücken?
Wäre nett wenn mir da nochmal einer helfen könnte.
Viele grüße Benno
@Julius; danke für deine Korrektur. Die Matrix hatte ich eigentlich auch so bei mir stehen.
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Hallo BennoO.,
> Hm, hab mich mal an den noch gestern angekündigten
> Basiswechsel drangegeben, doch leider weiß ich nicht ob
> mein Ansatz hier so stimmt. Die Aufgabe lautet einen
> Basiswechsel zwischen der Basis B und der Basis
> [mm]C:={\bruch{X^{i+1}-1}{X-1} :i=0,....,n}[/mm] zu berechnen.
> Die Basis von B lautete [mm]B={1,X,....,X^n}.[/mm]
> Könnte ich die Berechnung der Transformationsmatrix
> äquivalent zur der von Endomorphismen durchführen? Ich weiß
> zwar, das ich zum Schluss [mm]S^t[/mm] statt S^(-1) habe, aber
> erstmal muß ich ja S bestimmen. Also wie gesagt, könnte ich
> z.b jetzt einfach die neue Basis nehmen und versuchen
> diese, durch eine Linearkombination der "alten"
> Basisvektoren auszudrücken?
Ja, das ist auch der gängige Weg.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 20.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
hallo mathepower.
So, ich habs mal versucht zu rechnen. Wäre nett, wenn du mir eben sagen könntest, ob's nun so stimmt.
Als Transformationsmatrix hab ich eine obere Dreiechsmatrix raus:
[mm] \cal{P}= \pmat{ 1 & 1 & 1 & ..... & 1 \\ 0 & 1 & 1 & ..... & 1 \\ 0 & 0 & 1 & ..... &1\\ 0 & 0 & 0 & ..... & 1 \\ . & . & . & ..... & . \\ 0 & 0 & 0 & ..... & 1 }
[/mm]
Somit würde ich als Darstellunbsmatrix der oben angegebenen Bilinearform, bezüglich der neuen Basis C, folgende Matrix B erhalten: B:= [mm] \cal{P}^T \cal{A} \cal{P} [/mm] erhalten. ( [mm] \cal{A} [/mm] ist die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis B) Also B= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & ..... & 1 \\ 1 & 2 & 2 & ..... & 2 \\ 1 & 2 & 3 & ..... & 3 \\ 1 & 2 & 3 & ..... & 4 } \pmat{ 1 & \bruch{1}{2}..... & \bruch{1}{n+1} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3}.....& \bruch{1}{n+2} \\ \bruch{1}{3} &\bruch{1}{6}...... & \bruch{1}{n+3} \\ ...... & .... & ..... \\ \bruch{1}{n+1} & \bruch{1}{n+2} & ....... \bruch{1}{2n+1}} [/mm] =...(hab ich ehrlich gesagt ein paar Probleme gehabt die Matrix auszurechnen) Stimmt meine Tranfomatrix überhaupt so?
(falls sie falsch ist, ist bin folgendermaßen drauf gekommen: hab die "neuen" Basisvektoren, durch eine lin. Kombination der "alten" ausgedrückt, z.b [mm] 1=r*1+s*x+t*x^2 [/mm] ..... + [mm] z*x^n [/mm] folgt r=1
[mm] x+1=r*1+s*x+t*x^2 [/mm] ..... + [mm] z*x^n [/mm] folgt r=1, s = 1
[mm] x^2+x+1=r*1+s*x+t*x^2 [/mm] ..... + [mm] z*x^n [/mm] folgrt r=1, s=2, t=1 mit r,s,t aus [mm] \IR.)
[/mm]
Wäre nett, wenn du mir dazu kurz was sagen könntest.
viele Grüße Benno
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Hallo BennoO.,
> hallo mathepower.
> So, ich habs mal versucht zu rechnen. Wäre nett, wenn du
> mir eben sagen könntest, ob's nun so stimmt.
> Als Transformationsmatrix hab ich eine obere
> Dreiechsmatrix raus:
> [mm]\cal{P}= \pmat{ 1 & 1 & 1 & ..... & 1 \\ 0 & 1 & 1 & ..... & 1 \\ 0 & 0 & 1 & ..... &1\\ 0 & 0 & 0 & ..... & 1 \\ . & . & . & ..... & . \\ 0 & 0 & 0 & ..... & 1 }[/mm]
>
> Somit würde ich als Darstellunbsmatrix der oben angegebenen
> Bilinearform, bezüglich der neuen Basis C, folgende Matrix
> B erhalten: B:= [mm]\cal{P}^T \cal{A} \cal{P}[/mm] erhalten. (
> [mm]\cal{A}[/mm] ist die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis B)
> Also B= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & ..... & 1 \\ 1 & 2 & 2 & ..... & 2 \\ 1 & 2 & 3 & ..... & 3 \\ 1 & 2 & 3 & ..... & 4 } \pmat{ 1 & \bruch{1}{2}..... & \bruch{1}{n+1} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3}.....& \bruch{1}{n+2} \\ \bruch{1}{3} &\bruch{1}{6}...... & \bruch{1}{n+3} \\ ...... & .... & ..... \\ \bruch{1}{n+1} & \bruch{1}{n+2} & ....... \bruch{1}{2n+1}}[/mm]
Ich dachte, es ist eine Matrix gesucht, die den Basiswechsel von B nach C beschreibt.
Was hat hier die Gramsche Matrix aus der ersten Frage zu suchen?
> =...(hab ich ehrlich gesagt ein paar Probleme gehabt die
> Matrix auszurechnen) Stimmt meine Tranfomatrix überhaupt
> so?
> (falls sie falsch ist, ist bin folgendermaßen drauf
> gekommen: hab die "neuen" Basisvektoren, durch eine lin.
> Kombination der "alten" ausgedrückt, z.b [mm]1=r*1+s*x+t*x^2[/mm]
> ..... + [mm]z*x^n[/mm] folgt r=1
> [mm]x+1=r*1+s*x+t*x^2[/mm] ..... + [mm]z*x^n[/mm] folgt r=1, s = 1
> [mm]x^2+x+1=r*1+s*x+t*x^2[/mm] ..... + [mm]z*x^n[/mm] folgrt r=1, s=2, t=1
> mit r,s,t aus [mm]\IR.)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mi 21.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo Mathepower.
Gut, dann ist die Matrix also richitg. Dankeschön.
Ja, sorry, ich hab die 3. Aufgabe von meinem Blatt direkt mitgemacht, ohne dir das jetzt mitgeteilt zu haben. 1. Aufgabe war halt die Gramsche Matrix zu berechnen, die 2. Aufgabe die Transformationsmatrix von B nach C zu bestimmen, und Teil 3 lautet "Berechne mit Hilfe der Ergebnisse aus a) und b) die darstellende Matrix der obigen Bilinearform bezüglich der Basis C". Hier muß ich ja die Gramsche Matrix aus 1) wieder nehmen, denn es gelte ja:
B:=S^TAS, wobei B Matrix bezüglich Basis C ist, A Matrix bezüglich Basis B und S halt die Transfomatrix von Basis B nach C ist. War wahrscheinlich deshalb was undurchsichtig. Ich hät aber noch eben ne allgemeine Frage zu den Bilinearformen; es fehlt mir etwas der Zusammenhang zur Vorlesung. Es heißt dort: "Definition: [mm] A_F [/mm] heißt die (Form-) Matrix von F (bzgl. nat. Basen) Dann ist F(x,y)=x^TAy." Ist A die Gramsche Matrix? Was genau sind die "x" und "y"? Sind dies irgentwelche beliebigen Vektoren, die von rechts-,bzw. links dranmultipliziert werden? In meinem Beispiel hier waren das ja Transformationsmarizen.
Danke nochmal an der Stelle für die Korrektur/durchsehen meiner Aufgaben. Hat mir aufjedenfall geholfen.
grüße Benno
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Benno!
Zu deiner zweiten Frage:
Es sei $F$ eine Bilinearform. Dann kann ich mir ja irgendeine Basis des Vektorraums nehmen, ich nenne sie mal [mm] ${\cal B}$, [/mm] und bezüglich dieser Basis die Gramsche Matrix von $F$ aufstellen; diese bezeichne ich mal mit [mm] $A_{F;{\cal B}}$. [/mm] Dann kann man $F(x,y)$ für zwei Vektoren $x$ und $y$ auch mit Hilfe von Matrizenmultiplikationen berechnen, und zwar mit Hilfe von [mm] $A_{F;{\cal B}}$. [/mm] Dazu bilden wir die Koordinatenvektoren [mm] $x_{{\cal B}}$ [/mm] und [mm] $y_{{\cal B}}$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] und erhalten:
$F(x,y) = [mm] x_{{\cal B}}^T \cdot A_{F;{\cal B}} \cdot y_{{\cal B}}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Mi 21.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo. Ja, ich denk ich habs jetzt so weit verstanden.
Danke nochmal für eure Hilfen.
viele Grüße Benno
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